Pi (wiskunde)

In de wiskunde wordt de Griekse kleine letter π (pi) als symbool gebruikt voor het getal dat de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en zijn diameter aangeeft. Deze wiskundige constante wordt ook wel de constante van Archimedes genoemd. Op 14 maart 2006 werd de 300 jarige verjaardag van π als wiskundig symbool gevierd. Zie ook Pidag.

De numerieke benadering van π in 100 decimalen is:

π =

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679

Onder Externe links staan benaderingen met nog meer decimalen van π.

In de wiskunde wordt de hoofdletter pi, Π, als symbool gebruikt om een vermenigvuldiging van een aantal gelijksoortige factoren verkort op te schrijven, bijvoorbeeld:

$\prod_{k=1}^6 k = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6$

Algemeen:

$\prod_{k=1}^n x_k = x_1 \times x_2 \times \dots \times x_n$

Inhoud

1 Formules uit de meetkunde met π
2 Formules uit de analyse met π
- 2.1 Formules om π te benaderen
  - 2.1.1 Reeksen
  - 2.1.2 Het product van Wallis
- 2.2 Formules waarin π voorkomt
3 Enkele voorbeeldprogramma's
4 Formules uit de getaltheorie met π
5 Irrationaliteit, transcendentie en de kwadratuur van de cirkel
6 Benaderingen
7 Open vragen
8 Piphilologie
9 De π-wet van Indiana
10 Geheugensteuntjes om π te benaderen
11 Zie ook:
12 Externe links

[bewerk] Formules uit de meetkunde met π

In de meetkunde hebben formules waarin π voorkomt meestal met een cirkel, ellips of bol te maken.

[bewerk] Cirkel met straal r

hoek 360° = 2 π rad

omtrek O = 2 π r

oppervlakte A = π r²

[bewerk] Ellips met halve assen a en b

Oppervlakte A = π a b

[bewerk] Bol met straal r

oppervlakte A = 4 π r²

inhoud V = (4/3) π r³

[bewerk] Kegel met grondvlakstraal r en hoogte h

inhoud V = (1/3) πr² h

oppervlakte A = π r (r + √ (h² + r²) )

[bewerk] Formules uit de analyse met π

[bewerk] Formules om π te benaderen

[bewerk] Reeksen

$\frac{\pi}{4} = \arctan(1) = \frac{1}{1} - \frac {1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots$ (formule van Leibniz)
$\frac{\pi^2}{12} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \cdots$
$\frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \zeta(2)$ (formule van Euler)
$\frac{\pi^2}{8} = 1+\frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} + \frac{1}{9^2} + \cdots$
$\frac{\pi}{6} = \arcsin(\frac{1}{2})$
$\frac{\pi}{4} = 4 \arctan(\frac{1}{5}) - \arctan(\frac{1}{239})$ (formule van Machin)
$\frac{2}{\pi} = \frac{\sqrt{2}}{2} * \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} * \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}{2} * \cdots$ (formule van Viète)

waarin: $\arctan (x) = x -\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5} - \dots =\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ (Taylorreeks)

en: $\arcsin (x) = x + \frac{1}{2}\frac{x^3}{3}+\frac{1.3}{2.4}\frac{x^5}{5}+\dots =\sum_{n=0}^\infty\frac{1.3.5\dots (2n-1)}{2.4.6\dots (2n)}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ .

We onderzoeken de nauwkeurigheid van deze reeksen, na 10 en 1000 gesommeerde termen:

Reeks	Benadering met 10 termen	Benadering met 1000 termen
1	3,041839619	3,140592654
2	3,132977195	3,141591700
3	3,049361636	3,140638057
4	3,109625458	3,141274328
5	3,141592647	3,141592654
6	3,141592654	3,141592654

De snelheid van convergentie van de eerste 4 reeksen is dus bedroevend laag! Van de 5e reeks zijn 13 termen voldoende voor een nauwkeurigheid van 9 decimalen, van de 6e reeks 6 termen. Bij deze laatste twee reeksen is de limiet van het quotiënt van twee opeenvolgende termen in absolute waarde kleiner dan 1, wat een snelle convergentie garandeert. Met deze eigenschap in gedachten zijn reeksen ontwikkeld die nog sneller convergeren, zoals:

$\frac{1}{\pi}=\frac{163.8.27.7.11.19.127}{640320^{3/2}}\sum_{n=0}^\infty (\frac{13591409}{163.2.9.7.11.19.127}+n)\frac{(6n)!}{(3n)!{n!}^3}\frac{(-1)^n}{640320^{3n}}$ .

Per extra term bij de sommatie wordt de benadering 14 cijfers nauwkeuriger.

[bewerk] Het product van Wallis

$\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots$

Ook dit is meer een curiositeit dan een bruikbare formule om π te berekenen. Nemen we van beide zijden de logaritme, dan wordt de rechterzijde een reeks. Nemen we hiervan steeds twee termen samen dan is de limiet van het quotiënt van twee opeenvolgende termen 1.

[bewerk] Formules waarin π voorkomt

$n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$ (benadering van Stirling voor n-faculteit)

$\!e^{i \pi} = -1$ (identiteit van Euler)

$\sqrt{\pi} = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx$

[bewerk] Enkele voorbeeldprogramma's

[bewerk] Berekening van π met behulp van de formule van Euler

Het volgende programma in C gebruikt een iteratie om de waarde van π te berekenen volgens de bovenstaande van Euler afkomstige formule, en laat per miljoen berekende waarden een tussenresultaat zien.

#include <math.h>
#include <stdio.h>

#define JUIST 1

int main() {
  long double pi = 0;
  long double i = 0;
  long double toon = 0;

  while (JUIST) {
    i++; 
    toon++;
    pi += 1/(i*i);
    if (toon == 1000000) {
      toon = 0;
      printf("Pi is ongeveer %.50f\n", sqrt(pi*6));
    }
  }
  return 0;
}

[bewerk] Berekening van π met behulp van de formule van Wallis

Dit is een versimpelde variant van de formule van Wallis; iedere twee breuken worden samen genomen.

Deze berekening is niet precies, omdat er na een tijd afronding in de berekening plaatsvindt.

#include <stdio.h>

int main ()
{
  unsigned long i = 0;
  double j, pi = 2;

  while (1)
  {
    i += 2;

    j = (double) i * i;
    j /= j - 1;

    pi *= j;

    printf ("pi: %.20f\n", pi);
  }
}

[bewerk] Berekening van π met behulp van de formule van Leibniz

Het volgende programma in C berekent de waarde van π steeds nauwkeuriger volgens de formule van Leibniz en laat telkens als er een nauwkeurigere boven- en ondergrens zijn gevonden zien tussen welke 2 waarden π ligt.

#include <stdio.h>

int main(){
  double pi=4;
  double i;

  for(i=3;;i+=4){
    pi-= (double) 4/i;
    printf("Pi ligt tussen %.50f en ",pi);
    pi+= (double) 4/(i+2);
    printf("%.50f\n",pi);
  }
  return 0;
}

[bewerk] Berekening van π met behulp van een toevalsmethode (Monte Carlo-methode)

In een vierkant tekenen we een kwart cirkel met het middelpunt op een hoekpunt, en de straal gelijk aan een zijde. De kans dat een willekeurig punt binnen het vierkant ook binnen de cirkel ligt is π/4. Zo'n willekeurig punt heeft twee willekeurige coördinaten. Om te kijken of een punt binnen de cirkel ligt vergelijkt het programma, in Pascal, de afstand tot het middelpunt van de cirkel met de straal.

program pi;

var i, punten, binnen: integer;

begin
  randomize;
  write ('Geef het aantal punten: ');
  readln (punten);
  binnen := 0;
  for i := 1 to punten do
    if sqr (random) + sqr (random) < 1 then binnen := binnen + 1;
  writeln ('Pi is ongeveer ', binnen / punten * 4:9:7)
end.

[bewerk] Formules uit de getaltheorie met π

De kans dat twee willekeurig gekozen gehele getallen relatief priem zijn, is

6 / π 2

Het gemiddelde aantal manieren om een positief, geheel getal te schrijven als de som van twee perfecte kwadraten (volgorde is van belang) is π/4.

[bewerk] Irrationaliteit, transcendentie en de kwadratuur van de cirkel

Johann Heinrich Lambert bewees in 1761 dat π een irrationaal getal is. Dat wil zeggen dat het niet als de ratio van twee gehele getallen kan worden geschreven. In 1882 bewees Ferdinand Lindemann zelfs dat π een transcendent (ofwel niet-algebraïsch) getal is. Dat betekent dat er geen polynoom met gehele coëfficiënten bestaat met π als nulpunt. Daardoor is het onmogelijk om in een eindig aantal stappen met passer en liniaal een vierkant te construeren waarvan de oppervlakte gelijk is aan een gegeven cirkel. De reden is dat alle punten die met passer en liniaal bereikt kunnen worden speciale algebraïsche getallen zijn.

[bewerk] Benaderingen

Door de transcendente aard van π bestaat er geen eenvoudige uitdrukking voor π en moeten we werken met benaderingen. Deze benaderingen waren vroeger handig bij de toegepaste wetenschappen; recente benaderingen hebben zoveel decimalen dat ze weinig praktisch nut hebben, behalve dan om nieuwe supercomputers mee te testen.

In de Bijbel staat in 2 Kronieken 4:2 (NBV): Hij liet ook de Zee maken, een bekken van gegoten brons, vijf el hoog, met een middellijn van tien el en een omtrek van dertig el. Volgens deze beschrijving zou π de waarde 3 hebben. In feite toont deze Bijbeltekst aan dat de getallen in de Bijbel niet altijd even nauwkeurig zijn.

Ludolph van Ceulen berekende rond 1600 de eerste 35 decimalen. Hij was zo trots op zijn prestatie dat hij ze op zijn grafsteen heeft laten graveren.

De Sloveense wiskundige Jurij Vega berekende in 1789 de eerste 140 decimalen voor π, waarvan er 137 correct waren. Dit was 50 jaar lang het wereldrecord. Hij verbeterde de formule van John Machin uit 1706 en deze wordt vandaag de dag nog steeds aangehaald.

Van de formules hierboven kan alleen die van Machin dienen als een efficiënte manier om π te berekenen:

4 arctan(1/5) - arctan(1/239) = π/4

Deze kan het eenvoudigst geverifieerd worden met poolcoördinaten van complexe getallen:

(5+i)⁴ · (239 - i) = 114244 + 114244 i

De eerste miljoen decimalen van π en 1/π zijn beschikbaar bij het project Gutenberg. Het huidige record (augustus 2001) staat op 206.000.000.000 cijfers, die berekend werden in september 1999 met behulp van het algoritme van Gauss-Legendre en het algoritme van Borwein.

In 1996 ontdekte David H. Bailey in samenwerking met Peter Borwein en Simon Plouffe een nieuwe formule voor π als oneindige reeks:

$\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)$

Deze formule laat het toe om eenvoudig de n-de binaire of hexadecimale positie van π te berekenen zonder daarvoor eerst de n-1 posities te berekenen. Baileys website bevat zowel de afleiding als implementaties in verschillende programmeertalen.

[bewerk] Open vragen

De dringendste open vraag: 'is π normaal?' ofwel of elke cijfergroep in de expansie van π even vaak voorkomt als zou kunnen worden verwacht wanneer de cijfers volledig willekeurig waren gekozen. Deze vraag zou waar moeten zijn in elke basis, niet alleen in basis 10.

Bailey en Crandal toonden in 2000 aan dat het bestaan van de bovenstaande formule van Bailey, Borwein en Plouffe en andere vergelijkbare formules impliceert dat de normaliteit van π in basis 2 en verschillende andere constanten gereduceerd kan worden als een mogelijke aanname voor chaostheorie. Zie de bovenstaande website van Bailey voor details.

[bewerk] Piphilologie

Er bestaat een heel onderzoeksgebied naar het gebruik van mnemotechnieken om de cijfers van π te onthouden. Dit onderzoek staat bekend als Piphilologie. Het woord is een duidelijk woordspeling op Pi zelf en het linguïstische onderzoeksgebied filologie (Engels: philology).

Het bekendste voorbeeld van een geheugensteuntje voor de cijfers van π komt van Isaac Asimov:

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!

In dit voorbeeld staat het aantal letters in ieder woord voor de opeenvolgende cijfers van π: 3,141.592.653.589.79. Er zijn piphilologisten die gedichten hebben geschreven om meer dan 100 cijfers te coderen.

Een Nederlands voorbeeld (de ij telt voor één letter):

Wie π voor 't eerst berekende

hij sterft nooit!

Een ander voorbeeld:

Wie u eens π heeft verzonnen in aloude tijden

was nooit begonnen inderdaad spoedig geëindigd

als hij had ingezien

welk gezeur de cijfers bien

Nog een Engels voorbeeld (waarbij zelfs de komma op de juiste plaats staat!):

Sir, I bear a rhyme excelling

in mystic force and magic spelling.

Celestial sprites elucidate

all my own striving can't relate

In het Frans komt men tot 127 decimalen (de tienletterwoorden tellen als 0):

Que j'aime a faire apprendre un nombre utile aux sages.

Glorieux Archimede, artiste ingenieux!

Toi de qui Syracuse aime encore la gloire.

Soit ton nom conserve par de savants grimoires.

Jadis, mysterieux, un probleme existait.

Tout l'admirable procede (l'oeuvre etonnante!)

Que Pythagore decouvrit aux anciens Grecs:

O Quadrature! Vieux tourment du philosophe! Sibylline rondeur!

Trop longtemps vous avez defie Pythagore et ses imitateurs!

Comment integrer l'espace plan circulaire?

Thales tu tomberas! Platon tu desesperes!

Apparait Archimede:

Archimede inscrira dedans un hexagone:

Appreciera son aire fonction du rayon;

Pas trop ne s'y tiendra!

Dedoublera chaque element anterieur,

Toujours de l'orbe calculee approchera

Laquelle limite donne l'arc,

La longueur de cet inquietant cercle,

Ennemi trop rebelle!

Professeur, enseignez son probleme avec Zele ...

[bewerk] De π-wet van Indiana

In 1897 werd door het Huis van Afgevaardigden van de Amerikaanse staat Indiana unaniem een wet aangenomen waarin werd verordonneerd dat het getal π voortaan gelijk gesteld moest worden aan 3,2.

De opsteller van deze wet, nummer 246, was Edwin J. Goodwin, een amateurwiskundige, de indiener was afgevaardigde Taylor. Erachter zat niet alleen een 'praktische' reden, maar Goodwin had er ook financieel belang bij. Door deze "uitvinding van π = 3,2" kon Goodwin een patent verkrijgen en zo royalty's ontvangen.

De wet werd echter door de Senaat van Indiana verworpen dankzij de toevallige aanwezigheid van de wiskundige Clarence A. Waldo van de Purdue University, doordat deze de Senaat van Indiana de fouten kon aanwijzen die Goodwin gemaakt had om op π = 3,2 te komen.

[bewerk] Geheugensteuntjes om π te benaderen

Er bestaan verschillende geheugensteuntjes om π te benaderen. Vooral voor eenvoudige rekenmachientjes die niet het getal π hebben is dit soms handig.

Bijvoorbeeld 22/7 = 3,142857... (een niet zo goede benadering)

Of 355/113 = 3,14159292... (al een wat betere benadering)

Een ander voorbeeld (dit is ook wiskundehumor) is deze: Neem het getal "1234", dat is logisch toch? Draai tweemaal twee cijfers om, zodat het getal "2143" ontstaat. Deel dat getal door twee tweeën (2143 / 22 = 97,40909...). Neem van het resultaat tweemaal de tweedemachtswortel. De uitkomst is (heel logisch) het getal: 3,1415926526... Dit is een redelijke benadering van π en een humoristische toepassing van de benadering $\pi^4\simeq 2143/22$ die door Srinivasa Aaiyangar Ramanujan ontdekt is.