Pi (zenbakia)

Wikipedia(e)tik

Artikulu hau zenbakiari buruzkoa da, esanahi ezberdinentzako ikus Pi (greko)

Pi (π alfabeto grekoko letrarekin idazten dena) zenbaki bat da. Transkripzio batzuetan p moduan agertzen da.

Matematikatan eta Geometrian zirkunferentzia baten eta bere diametroaren arteko harremana da. Zenbaki irrazional bat da, hau da:

Ez da p/q zatiki moduan lortzen.
Ez da inongo erroketatik eratortzen.
Ez da inongo zenbaki osodun expresio algebraikotik lortzen.

π 1 erradioa duen zirkulu baten azalera moduan defini daiteke. Era berean sin (x) = 0 funtzioan x-en baliorik baxuena da.

π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 592...

Eduki-taula

1 π duten formulak
2 π gerturaketak
3 π geometrikoki gerturatuz
- 3.1 Kochanskiren metodoa
- 3.2 Mascheroniren metodoa
4 Lehen 1000 hamartarrak
5 Kanpo loturak

[aldatu] π duten formulak

Geometrian:

r erradioko zirkunferentzia: Z = 2 π r
r erradioko zirkuluaren azalera: A = π r²
a eta b ardatzerdiak dituen elipse batean azalera: A = π ab
Zilindroaren azalera: 2πr(r+h)
Esfera baten azalera: 4 π r²
r erradioko esfera baten bolumena: V = (4/3) π r³
Angeluetan: 180º π radian dira.

Probabilitatean:

Ausaz aukeratutako bi zenbaki oso euren artean lehenak izan daitezeneko probabilitatea 6/π² da
1 baino txikiagoak diren bi zenbaki positibo hartuta, 1 zenbakiarekin batera hiruko kamuts bateko aldeak izan daitezeneko probabilitatea (π-2)/4 da.
Buffonen Orratza: ausaz, airera, orrats bat botatzen badugu, L luzeerakoa dena eta gainazal batean erortzen badira non D distantziara dauden lerro paraleloak marraztuta dauden, orratzak lerro bat mozteko probablitatea Lπ/2D da.

Analisi matematikoan:

$\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}$ (Leibnizen Formula)

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}$ (Wallisen produktua)

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \cdots = \frac{\pi}{2}$ (Euler)

$e^{\pi i} + 1 = 0\;$ (Eulerren identitatea, "Munduko Formularik Garrantzitsuena" moduen ezaguna)

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$

$n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$ (Stirlingen Formula)

$\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$ (Euler)

$\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}$

$\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}$ Ramanujan

Gainera πk frakzio jarrai gisa hainbat formula ditu. konturatu zenbaki bakoitiak direla zatitzen agertzen direnak, eta zenbaki osoen karratuak beraien zatitzaile bezala:

$\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}}$

$\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{2(-1)^k\; 3^{\frac{1}{2} - k}}{2k+1}$

(http://functions.wolfram.com/Constants/Pi/10/ helbidean beste 12 errepresentazio ezberdin daude)

[aldatu] π gerturaketak

πren irrazionaltasuna dela eta kalkuloak gerturatzen ahalik eta zehatzenekin egin behar da, baina beti hurbilketekin. Normalki 3,14 edo 22/7 baloreak hartzen dira, benetako baloretik %0,05 baino ez dira urruntzen. Fisikan eta ingeniaritzan 3,1416 erabili ohi da edo baita 3,14159 zirkunferentzia batean zehaztasuna lortzeko.

π: 355/113 zatikia ere askotan erabiltzen da eta lehenengo 7 zenbakietan bat egiten du.

πrantz egin diren hurbilketa historiko batzuk:

Urtea	Matematikaria edo dokumentua	Hurbilketa	Errorea (zatiak milioika)
~1650 adC	Ahmeseko Papiroa (Egipto)	~ 3,1605	6016 ppm
~1600 adC	Susako taula (Babilonia)	3 1/8 = 3,125	5282 ppm
~950 adC	Biblian (Erregeak I, 7,23)	3	45070 ppm
~500 adC	Bandhayana (India)	3,09	16422 ppm
~250 adC	Arkimedes	3 10/71 eta 3 1/7 artean 211875/67441 ~ 3,14163	402 ppm 13,45 ppm
~200	Ptolomeo	377/120 = 3,141666...	23,56 ppm
260	Liu Hui (Txina)	3,1416	2,34 ppm
263	Wang Fau	157/50 = 3,14	507 ppm
~300	Chung Huing (Txina)	10^1/2 ~ 3,1623	6584 ppm
~500	Tsu Chung-Chi (Txiina)	3,1415926 eta 3,1415929 artean 355/113 ~ 3,1415929 erabiliz	<0,078 ppm 0,085 ppm
~500	Aryabhatta	3,1416	2,34 ppm
~600	Brahmagupta	10^1/2 ~ 3,1623	6584 ppm
1220	Fibonacci	3,141818	72,73 ppm

Urtea	Aurkitzailea	Erabilitako ordenagailua	Zifra dezimalen kopurua
1949	G.W. Reitwiesner eta beste batzuk	ENIAC	2.037
1955		MORC	3.089
1959	Guilloud	IBM 704	16.167
1967		CDC 6600	500.000
1973	Guillord eta Bouyer	CDC 7600	1.001.250
1981	Miyoshi eta Kanada	FACOM M-200	2.000.036
1982	Guilloud		2.000.050
1986	Bailey	CRAY-2	29.360.111
1986	Kanada eta Tamura	HITAC S-810/20	67.108.839
1987	Kanada, Tamura, Kobo eta beste batzuk	NEC SX-2	134.217.700
1988	Kanada eta Tamura	Hitachi S-820	201.326.000
1989	Chudnovsky Anaiak	CRAY-2 eta IBM-3090/VF	480.000.000
1989	Chudnovsky Anaiak	IBM 3090	1.011.196.691
1991	Chudnovsky Anaiak		2.260.000.000
1994	Chudnovsky Anaiak		4.044.000.000
1995	Kanada eta Takahashi [1]	HITAC S-3800/480	6.442.450.000
1997	Kanada eta Takahashi [2]	Hitachi SR2201	51.539.600.000
1999	Kanada eta Takahashi [3]	Hitachi SR8000	68.719.470.000
1999	Kanada eta Takahashi [4]	Hitachi SR8000	206.158.430.000
2002	Kanada eta beste batzuk [5]	Hitachi SR8000/MP	1.240.000.000.000

[aldatu] π geometrikoki gerturatuz

πren balorea modu geometriko batean kalkulatzea erraza da. Berez Greziarrak πren balioa kalkulatzen saiatu ziren erregela eta konpasa erabiliz, arrakastarik gabe. Greziarren arazoak, zirkuluaren koadratura edo berdina dena edozein zirkuluren azalera berdina duen karratu bat lortzeak πren balio zehatza jakitea dakar..

π erregela eta konpas batekin kalkulatzea ezinezkoa zela behin demostratuta, hainbat metodo sortu ziren nahiko zehatz kalkulatu ahal izateko. Bi soluzio horietako hoberenak Kochanskik (erregela eta konpasarekin) eta Marcheronik (konpasa baino ez) asmatu zituzten..

[aldatu] Kochanskiren metodoa

Frogapena (R = 1)

$B C 2 = A B 2 + (3 - D A) 2$

$OF= \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{DA}{EF} = \frac{OA}{OF} => \frac{DA}{1/2}=\frac{1}{\sqrt{2}/2} => DA=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Lehenengo formulan aldatuz:

$BC^2= 2^2+\left (3-\frac{\sqrt{3}}{3}\right )^2 => BC = \sqrt{40-6 \sqrt{3} \over 3}=3.141533...$

[aldatu] Mascheroniren metodoa

Frogapena (R = 1)

$AD=AC=\sqrt{3}$ $OD=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$

$BE=BD=\sqrt{(OD-MB)^2+MO^2}=\sqrt{\left( \sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2+\frac{1}{4}}=\sqrt{3-\sqrt{6}}$

ABEB' koadrilateroaren Ptolomeoren teorema dela eta:

$BB' \cdot AE=AB \cdot EB' + BE \cdot AB'$

$2 \cdot AE= \sqrt{1+\sqrt{6}}+\sqrt{9-3 \cdot \sqrt{6}}=3.142399...$

[aldatu] Lehen 1000 hamartarrak

3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

[aldatu] Kanpo loturak

"http://eu.wikipedia.org../../../p/i/_/Pi_%28zenbakia%29.html"(e)tik eskuratuta

Kategoriak: Konstanteak | Zenbaki transzendenteak | Zenbaki irrazionalak

We provide Linux to the World