E (wiskunde)

Het getal of de wiskundige constante e is het grondtal van de natuurlijke logaritme; het is gedefinieerd als

$e=\lim_{n\to\infty}(1 + \frac{1}{n})^n$ .

Het wordt ook de constante van Neper genoemd, naar de uitvinder van de logaritme, de Schotse wiskundige John Napier. Het getal e werd door de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler het exponentiële getal genoemd, vandaar vermoedelijk de naam. Een benadering is:

e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 .....

[bewerk] Eigenschappen

Het getal e is ook het grondtal voor de e-macht, de exponentiële functie $e x$ , ook wel geschreven als exp(x). Deze functie is de inverse van de natuurlijke logaritme en heeft als bijzondere eigenschap dat hij zichzelf als afgeleide heeft.

De Taylorreeks van de e-macht is:

$e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ .

Daaruit kan voor x=1 de volgende reeks voor e gevonden worden:

$e=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\cdots$

Ter vergelijking staan hieronder de eerste 20 termen uit de definiërende rij en de eerste 20 partiële sommen van de bovenstaande reeks.

n	$(1 + \frac{1}{n})^n$	$\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$
1	2.00000000	2.00000000
2	2.25000000	2.50000000
3	2.37037037	2.66666667
4	2.44140625	2.70833333
5	2.48832000	2.71666667
6	2.52162637	2.71805556
7	2.54649970	2.71825397
8	2.56578451	2.71827877
9	2.58117479	2.71828153
10	2.59374246	2.71828180
11	2.60419901	2.71828183
12	2.61303529	2.71828183
13	2.62060089	2.71828183
14	2.62715156	2.71828183
15	2.63287872	2.71828183
16	2.63792850	2.71828183
17	2.64241438	2.71828183
18	2.64642582	2.71828183
19	2.65003433	2.71828183
20	2.65329771	2.71828183

Hoewel van de definiërende rij enkel de laatste term moet berekend worden en van de benaderende reeks n termen (die vervolgens moeten worden opgeteld) zal de benadering via de reeks bij eenzelfde 'nauwkeurigheid' (verschil tussen opeenvolgende termen in de lijst) toch minder bewerkingen nodig hebben in vergelijking met de rij. Bij n = 1000 000 000 'doet' bijvoorbeeld de rij het nog altijd 'slechter' dan de reeks bij n = 12.

Het getal e is irrationaal (voor het eerst bewezen door Johann Heinrich Lambert in 1761 en later ook door Euler) en transcendent (in 1873 bewezen door Charles Hermite).

Bijzondere getallen

Bevriende getallen · Bijna perfect getal · Constante van Gelfond · Constante van Kaprekar · e · Fermatgetal · Gebrekkig getal · Getal van Graham · Gulden snede · Illegaal priemgetal · Kaprekargetal · Mersennepriemgetal · Natuurlijk getal · Overvloedig getal · Perfect getal · Pi · Priemgetal · Priemtweeling · Quasiperfect getal · Samengesteld getal · Semiperfect getal · Sphenisch getal

Categorie: Wiskundige constante

E (wiskunde)

[bewerk] Eigenschappen

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen