Complex getal

Getalverzamelingen

Natuurlijke getallen
Gehele getallen
Rationale getallen
Reële getallen
Complexe getallen
Quaternionen
p-adische getallen
Surreële getallen
Transfiniete getallen

Irrationale getallen
Algebraïsche getallen
Transcendente getallen
Imaginaire getallen

In de wiskunde zijn complexe getallen een uitbreiding van de reële getallen. Zoals de reële getallen overeenkomen met punten op een rechte lijn, correspondeert elk complex getal met een punt uit een vlak. Een complex getal is zodoende een paar reële getallen a en b, dat gewoonlijk weergegeven wordt als a + bi. Hierin is i een bijzonder complex getal, de imaginaire eenheid, met als eigenschap i² = -1. Met complexe getallen in de vorm a + bi kan gewoon gerekend worden, met de extra rekenregel dat overal i² vervangen wordt door -1.

De extra mogelijkheden die het rekenen met complexe getallen biedt, hebben geleid tot onmisbare toepassingen in bijvoorbeeld de elektrotechniek en meet- en regeltechniek.

Inhoud

1 Inleiding
2 Geschiedenis
3 Definitie
4 Alternatieve definitie
5 Voorstelling
- 5.1 Voorbeelden
6 Andere voorstellingen
7 Notaties voor complexe getallen
- 7.1 Cartesische of algebraïsche notatie
- 7.2 Notatie met poolcoördinaten
8 Complexe getallen en gerelateerde waarden
9 Ordening
10 Rekenen met complexe getallen
11 Toepassingen
12 Complexe getallen in software
13 Externe verwijzingen (in het Engels)

[bewerk] Inleiding

Complexe getallen voorzien in de behoefte oplossingen te hebben van alle (algebraïsche) vergelijkingen, dus bijvoorbeeld ook vergelijkingen van de vorm $x 2 = c$ voor negatieve getallen c.

Het is voldoende een denkbeeldige (imaginaire) oplossing, aangeduid met i (van "impossibele", onmogelijk) te definiëren van de vergelijking $x 2 = - 1$ . Men stelt dus: deze vergelijking heeft per definitie een oplossing, en deze oplossing wordt i genoemd. Door de reële getallen uit te breiden met dit denkbeeldige getal i, waarmee verder op de normale manier gerekend wordt, ontstaat de verzameling $\mathbb{C}$ van de complexe getallen. Deze uitbreiding bevat met i vanzelf ook alle veelvouden bi van i en bestaat daarmee uit alle uitdrukkingen van de vorm a + bi waarin a en b reële getallen zijn. Hiermee is het gewenste resultaat bereikt: binnen de complexe getallen is elke algebraïsche vergelijking oplosbaar.

[bewerk] Geschiedenis

De formule van del Ferro en Tartaglia voor de oplossingen van de derdegraadsvergelijking plaatste de wiskundigen van de zestiende eeuw voor een enorm nieuw probleem. Wanneer zo'n vergelijking drie verschillende (reële) oplossingen heeft, komen in die formule namelijk wortels voor uit negatieve getallen. En in die tijd waren negatieve getallen nog niet bekend. Het is geen wonder dat de naam 'imaginaire getallen' snel gevonden was, en de gewone getallen heetten vanaf toen 'reëel'. Pas in de negentiende eeuw werden de problemen opgelost.

[bewerk] Definitie

Een complex getal is een uitdrukking van de vorm a + bi, waarin a en b beide reële getallen zijn en i een nieuw getal voorstelt, de imaginaire eenheid, met de eigenschap (rekenregel):

$\,i^2=-1$ .

Rafael Bombelli, de bedenker van de imaginaire getallen, stelde de rekenregels op voor complexe getallen. Hierbij stelde hij als axioma de genoemde eigenschap van het complexe getal i.

Het getal a noemt men het reële deel en het getal b het imaginaire deel van het complexe getal a + bi.

De verzameling van de complexe getallen wordt genoteerd als $\mathbb{C}$ .

De reële getallen vormen een deel van de complexe getallen; het zijn de complexe getallen met imaginair deel gelijk aan 0. Getallen waarvan het reële deel 0 is noemt met zuiver imaginair.

[bewerk] Alternatieve definitie

Een complex getal is een getal dat bestaat uit twee reële getallen. (Denk aan een breuk, die ook uit twee (gehele) getallen bestaat, teller en noemer.) Dit leidt tot een alternatieve definitie, waarin het paar reële getallen zelf als complex getal opgevat wordt en vermeden wordt vooraf de imaginaire eenheid i in te voeren.
Dit paar reële getallen kan vervolgens worden opgevat als een vector in een tweedimensionale ruimte, het complexe vlak, waarmee kan worden gerekend zoals met gewone vectoren maar met een extra definitie voor de vermenigvuldiging, zie hieronder, met het karakter van een combinatie van een verschaling en een rotatie. Deze definitie heeft tot gevolg dat het kwadraat van een zuiver imaginair getal een reëel getal oplevert.

De alternatieve definitie luidt als volgt.
Een complex getal is een koppel (a,b) van reële getallen, met de gebruikelijke optelling:

$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\,$

en de vermenigvuldiging:

$(a,b) \cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)\,$ .

Het getal a heet ook hier het reële deel en het getal b het imaginaire deel van het complexe getal.

[bewerk] Voorstelling

De alternatieve definitie stoelt op de voorstelling van de complexe getallen in het platte vlak. De abstracte definitie roept de vraag op of er ook een concrete voorstelling is van complexe getallen. Omdat de complexe getallen een vectorruimte vormen, voortgebracht door 1 en i en een complex getal a+bi eenduidig verbonden is met het geordend paar reële getallen (a,b) als de coördinaten t.o.v. de basis gevormd door 1 en i, ligt het voor de hand om $\R\times\R$ als kandidaat te bezien en (a,b) op te vatten als het complexe getal a+bi. Optellen gaat dus als volgt:

$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\,$

Nu rest nog de vraag of er een geschikte vermenigvuldiging gedefinieerd kan worden voor paren reële getallen, die overeenkomt met de vermenigvuldiging voor complexe getallen. Omdat:

$(a+bi)(c+di) = ac - bd + (ad+bc)i\,$ (zie onder),

zullen we de vermenigvuldiging moeten definiëren als:

$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)\,$ .

Dan geldt:

$(1,0)\cdot (1,0)=(1,0)\,$

$(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)=-(1,0)\,$ .

Met de identificatie van (1,0) = 1 en (0,1) = i is aan de regels voor complexe getallen voldaan.

De verzameling $\R^2$ is, na uitbreiding met de hierboven gedefinieerde vermenigvuldiging, isomorf met de verzameling $\mathbb{C}$ . Deze constructie levert een meetkundige voorstelling van de complexe getallen op, Arganddiagram genoemd, in 1806 bedacht door de Zwitserse amateur wiskundige Jean-Robert Argand.

Naast de overeenkomsten is een belangrijk verschil tussen $\R^2$ en $\mathbb{C}$ dat de in $\mathbb{C}$ gebruikte vermenigvuldiging van getallenparen in $\R^2$ niet gedefinieerd is.

Met de eerst gegeven definitie zijn de reële getallen vanzelf een deelverzameling van de complexe. Het zijn de complexe getallen met imaginair deel 0.

Met de alternatieve definitie vormen de reële getallen formeel geen deelverzameling van de complexe, maar men kan ze ingebed denken door de reële getallen te identificeren als de complexe getallen van de vorm (a,0).

[bewerk] Voorbeelden

De volgende uitdrukkingen stellen twee complexe getallen voor volgens de eerste definitie: $3+4i\,$ en $2-i\,$ . We kunnen deze twee complexe getallen optellen:

$(3+4i) + (2-i) = 3+2+(4-1)i=5+3i\,$

en ook met elkaar vermenigvuldigen

$(3+4i)\cdot (2-i)=3\times 2-3\times i+8\times i-4i^2=6+5i-4(-1)=10+5i\,$ ,

waarbij we van de rekenregel gebruikgemaakt hebben om i² te vervangen door -1.

De volgende uitdrukkingen stellen twee complexe getallen voor volgens de alternatieve definitie: $(3,4)\,$ en $(2,-1)\,$ . We kunnen deze twee complexe getallen optellen:

$(3,4)+(2,-1)=(3+2,4-1)=(5,3)\,$

en ook met elkaar vermenigvuldigen

$(3,4)\cdot (2,-1)=(3\times 2-4\times (-1)\ ,\ 3\times (-1)+4\times 2)=(10,5)\,$ ,

gebruikmakend van de rekenregels.

[bewerk] Andere voorstellingen

Een andere concrete voorstelling van de complexe getallen is door middel van matrices. Het complexe getal a+bi wordt voorgesteld door de 2×2-matrix:

$\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \\ \end{bmatrix}\,$ .

Het getal 1 wordt dus voorgesteld door de eenheidsmatrix:

$1=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\,$

en de imaginaire eenheid i door:

$i=\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}\,$ .

De vermenigvuldiging is de matrixvermenigvuldiging. Inderdaad is:

$(a+bi)(c+di)=\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c & -d \\ d & c \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} ac-bd & -ad-bc \\ ad+bc & ac-bd \\ \end{bmatrix}=(ac-bd)+(ad+bc)i\,$ .

Vatten we de matrix op als lineaire transformatie van het xy-vlak, dan stelt i de afbeelding voor die het punt (1,0) afbeeldt op (0,1) en het punt (0,1) op (-1,0). Precies wat we verwachten bij vermenigvuldiging met i.

Deze manier van voorstellen is analoog aan de voorsteling van de quaternionen als 2×2-matrices van complexe getallen

De eigenschappen van complexe getallen hebben tot gevolg dat een polynoom van graad n in de complexe getallen precies n nulpunten heeft (in plaats van ten hoogste n nulpunten zoals bij de reële getallen het geval is). Dit is de hoofdstelling van de algebra. Ook geldt dat de vergelijking $\,x^n = a$ voor negatieve getallen a een oplossing heeft voor alle n ongelijk aan 0 in plaats van alleen maar voor oneven waarden van n.

[bewerk] Notaties voor complexe getallen

Door de definitie van complexe getallen als elementen van een twee-dimensionale ruimte zijn er een tweetal notaties voor complexe getallen die voor de hand liggen. Deze notaties worden beide gebruikt, vaak naast elkaar.

[bewerk] Cartesische of algebraïsche notatie

Een complex getal z kan geschreven worden als z = (x,y) = x*(1,0) + y*(0,1) = x + y i. Dit komt overeen met het opvatten van een complex getal als een vector in de tweedimensionale ruimte:

Een complex getal als vector in de ruimte

Dit heet Cartesische notatie, naar de wiskundige en filosoof René Descartes, die het Cartesische coördinatenstelsel introduceerde, waarbij een punt in een vlak wordt voorgesteld door een getallenpaar. Daarin is $x \in \R$ het reële deel van z,

notatie: $\mathfrak{Re}(z), \Re(z)$ of Re(z),

en $y \in \R$ het imaginaire deel van z.

notatie: $\mathfrak{Im}(z), \Im(z)$ of Im(z).

In de elektronica wordt meestal het symbool j gebruikt voor de imaginaire basisvector, om verwarring met het symbool voor stroom i te vermijden.

[bewerk] Notatie met poolcoördinaten

Omdat we de complexe getallen definiëren als elementen van een tweedimensionale ruimte, kunnen we een complex getal z=(x,y) ook weergeven in poolcoördinaten, door de afstand r van (x,y) tot de oorsprong (0,0) en de hoek θ tussen de vector (x,y) en het positieve deel van de reële as.

De bovengenoemde afstand r wordt de voerstraal of modulus (absolute waarde) van het complexe getal z genoemd en de hoek θ de poolhoek of het argument van z.

De polaire en Cartesische notatie zijn in elkaar om te zetten:

$\, x + yi = r(\cos(\theta) + i \sin(\theta))$ ,

of specifieker:

$\,x = r \cos(\theta)$

$\,y = r \sin(\theta)$

In de andere richting (van Cartesisch naar polair) geldt dan weer dat:

$\,r =\sqrt{x^2+y^2}$

$\,\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$

Afhankelijk van het resultaat van $θ$ dient wel gecontroleerd te worden of het resultaat in het juist kwadrant gelegen is.

Verband tussen polaire en Cartesische notatie

Merk op dat argumenten die een veelvoud van 2π verschillen, hetzelfde complexe getal voorstellen. Argumenten van complexe getallen zijn dus niet eenduidig gedefinieerd, maar slechts op een veelvoud van 2π na. Daarom introduceren we het concept van hoofdwaarde als die waarde van het argument die voldoet aan:

$\,-\pi < \arg(z) \leq \pi$ .

[bewerk] Complexe getallen en gerelateerde waarden

[bewerk] Complex geconjungeerde

De complex geconjungeerde of de complex toegevoegde van het complexe getal z = a + bi is gedefinieerd als:

$\overline{z} = z^* = a - bi$ .

Uit de definitie volgt onmiddellijk dat

$\overline{\overline{z}} = z$ .

[bewerk] Modulus

De absolute waarde van een complex getal z wordt op dezelfde manier aangeven als bij reële getallen, dus als |z|. De berekening ervan gebeurt op de volgende manier:

$|z| = \sqrt{Re(z)^2 + Im(z)^2}$ .

Anders geformuleerd: de modulus, of absolute waarde, van een complex getal is de lengte van z'n voerstraal. Voor het complexe getal z = a + bi, is de absolute waarde dus:

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ .

Uit de definitie van de complex geconjungeerde en de modulus volgt:

$|z| = \sqrt{z \overline{z}}$ .

Of, wanneer met een complex getal vermenigvuldigt met zijn complex geconjugeerde bekomt met het kwadraat van de modulus.

[bewerk] Voorbeelden

$|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$
$|3 - 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$
$|x + 0i| = \sqrt{x^2 + 0^2} = |x|$

[bewerk] Modulus van de complex geconjungeerde

Voor de complex geconjungeerde van $z = a + b i$ , oftewel $\overline{z} = z^* = a - bi$ , geldt:

$|\overline{z}| = |a - bi| = \sqrt{a^2 + b^2} = |a + bi| = |z|$ .

[bewerk] Ordening

Op de complexe getallen bestaat geen ordening zoals op de reële getallen, waarbij we aan grootte moeten denken. In die zin is een uitspraak als a + bi > c + di betekenisloos. Het is echter wel mogelijk op de complexe getallen een ordening in te voeren. Deze heet lexicografische ordening. In deze ordening gaat men net zo te werk als bij het ordenen van namen, en beschouwt men het reële deel van een complex getal als het ware als de eerste letter en het imaginaire deel als de tweede letter. Het complexe getal a+bi is dus groter dan alle complexe getallen c+di waarvoor c<a of waarvoor c=a en d<b.

[bewerk] Rekenen met complexe getallen

[bewerk] Optellen en aftrekken

Het optellen en aftrekken van complexe getallen gaat het makkelijkst in Cartesische vorm: het reële deel en het imaginaire deel worden apart opgeteld. Dit komt overeen met optelling van vectoren.

Twee complexe getallen z₁ = a + bi en z₂ = c + di worden als volgt opgeteld:

$\, z_1 + z_2 = (a+bi)+(c+di)= (a+c) + (b+d)i$ .

oftewel

$\mathfrak{Re}(z_1 + z_2) = \mathfrak{Re}(z_1) + \mathfrak{Re}(z_2)$

$\mathfrak{Im}(z_1 + z_2) = \mathfrak{Im}(z_1) + \mathfrak{Im}(z_2)$

Bijvoorbeeld:

Zij z₁ = 3 + 2i en z₂ = 6 + 8i, dan is: z₁ + z₂ = (3+2i) + (6+8i)= (3+6) + (2+8)i = 9 +10i.

Uiteraard is aftrekken hetzelfde als het optellen van het tegengestelde.

Merk ook op dat (het nemen van) de complex geconjungeerde distributief is over optellen:

$\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$

want:

$\overline{(a+bi) + (c+di)} = \overline{(a+c) + (b+d)i} = (a+c) - (b+d)i = (a-bi) + (c-di) = \overline{a+bi} + \overline{c+di}$

[bewerk] Vermenigvuldigen en delen

Vermenigvuldigen en delen van complexe getallen gaat het makkelijkst in polaire vorm. Hierbij worden de moduli met elkaar vermenigvuldigd en de argumenten bij elkaar opgeteld. Voor getallen in Cartesische vorm geldt voor het product:

$\,(a+bi)(c+di) = ac + (ad+bc)i + bdi^2 = ac - bd + (ad+bc)i$

oftewel

$\mathfrak{Re}(z_1 z_2) = \mathfrak{Re}(z_1) \mathfrak{Re}(z_2) - \mathfrak{Im}(z_1) \mathfrak{Im}(z_2)$

$\mathfrak{Im}(z_1 z_2) = \mathfrak{Re}(z_1) \mathfrak{Im}(z_2) + \mathfrak{Im}(z_1) \mathfrak{Re}(z_2)$

Dit is feitelijk hetzelfde als het vermenigvuldigen bij de reële getallen, met inachtneming van de definitie $\, i^2 = -1$ .

Verder geldt voor z=a+bi met arg(z)=α en w=c+di met arg(w)=β:

$|z w| = \sqrt{(ac - bd)^2 + (ad + cb)^2} = \sqrt{a^2c^2 -2abcd + b^2d^2 + a^2d^d + 2abcd + c^2b^2} =$

$= \sqrt{a^2(c^2 + d^2) + b^2(c^2 + d^2)} = \sqrt{a^2 + b^2} \sqrt{c^2 + d^2} =|z||w|$ .

$zw = |z|(\cos(\alpha) + i\sin(\alpha))\cdot |w|(\cos(\beta) + i\sin(\beta)) =$

$= |z||w|\left(\underbrace{(\cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta))} + i \underbrace{(\cos(\alpha)\sin(\beta) + \sin(\alpha)\cos(\beta))}\right) =$

$\,= |z||w|(\cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta))$ ,

dus

$\arg(zw) = \arg(z)+\arg(w)$ .

We zien dat bij het vermenigvuldigen van twee complexe getallen de moduli met elkaar worden vermenigvuldigd en de argumenten bij elkaar opgeteld.

In het bijzonder volgt dat vermenigvuldiging met i hetzelfde is als draaiing over $\pi /2\!$ radialen, dus een toename van het argument met $\pi /2\!$ . Daaruit zien we weer overeenstemming met de definitie: $i^2 = -1\!$ .

Merk op dat het nemen van het complex geconjungeerde distributief is t.o.v. het vermenigvuldigen:

$\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1}\ \overline{z_2}$

omdat:

$\overline{(a+bi)(c+di)} = \overline{(ac-bd) + (ad+bc)i} = (ac-bd) - (ad+bc)i = (a-bi)(c-di) = (\overline{a+bi})\ (\overline{c+di})$

Merk verder op dat het bovenstaande gegeneraliseerd kan worden:

$\,|z_1 z_2 \cdots z_n| = |z_1| |z_2| \cdots |z_n|$
$\,\arg(z_1 z_2 \cdots z_n) = \arg(z_1) + \arg(z_2) + \ldots + \arg(z_n)$

In het bijzonder:

$\,|z^n| = |z|^n$ voor $n\in \R$
$\,\arg(z^n) = n \arg(z)$ voor $n\in \R$

Voor $n \in \mathbb{C}$ moeten we voor machtsverheffen eerst wat meer gereedschap ontwikkelen.

Voor het quotiënt geldt:

$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{a + bi}{c + di}\ \frac{\overline{c + di}}{\overline{c + di}} = \frac{a + bi}{c + di}\ \frac{c - di}{c - di} = \frac{ac + bd + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$ .

Daarbij is gebruikgemaakt van de definitie $i^2=-1\!$ .

De verzameling $\mathbb{C}$ vormt met de hierboven beschreven optelling en vermenigvuldiging een lichaam (in België: veld). De eerder geciteerde hoofdstelling van de algebra betekent dat $\mathbb{C}$ een gesloten lichaam is.

[bewerk] Logaritme en e-macht

De e-macht is een bekende standaardfunctie die uitgebreid kan worden naar de complexe getallen.

Voor een complex getal z = x + yi is de e-macht van z is gedefinieerd als

$\,e^z = e^{x + yi} = e^x(\cos(y) + i\sin(y))$ .

Uit deze definitie volgt onmiddellijk

$|e^z| = e^{\mathfrak{Re}(z)}$
$\arg(e^z) = \mathfrak{Im}(z)$

Merk op dat de complexe e-macht zo gedefinieerd is dat deze voor reële waarden van z (d.w.z. met een imaginair deel 0) overeenkomt met de definitie van de e-macht voor reële getallen.

Door deze definitie behoudt de complexe e-macht een groot aantal "bekende" eigenschappen. Bijvoorbeeld:

$|e^{z_1}||e^{z_2}| = e^{ \mathfrak{Re}(z_1)}e^{\mathfrak{Re}(z_2)} = e^{\mathfrak{Re}(z_1)+\mathfrak{Re}(z_2)} = e^{\mathfrak{Re}(z_1 + z_2)}$

$\arg(e^{z_1}) + \arg(e^{z_2}) = \mathfrak{Im}(z_1) + \mathfrak{Im}(z_2) = \mathfrak{Im}(z_1 + z_2)$

Oftewel,

$\, e^{z_1}e^{z_2} = e^{z_1 + z_2}$ .

Verder volgt uit deze definitie, dat voor alle reële x:

$\, e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$
$\,|e^{ix}| = e^0 = 1$

en dat

$\, e^{2\pi i} = 1$
$\, e^{\pi i} = -1$
$\, e^{\frac{\pi}2 i} = i$
$\, e^z$ is periodiek met periode $\,2\pi i$ (dus bij constante $\mathfrak{Re}(z)$ en variërende $\mathfrak{Im}(z)$ )

Uit de eerste van de vijf bovenstaande eigenschappen, $|e^z| = e^{\mathfrak{Re}(z)}$ , en de polaire notatie volgt nog dat we elk complex getal w kunnen voorstellen als:

$\, w = |w| e^{i \arg(w)}$ .

Met deze vaststelling in de hand, kunnen we ook de natuurlijke logaritme van complexe getallen definiëren. Een eigenschap van de natuurlijke logaritme is namelijk dat

$\, \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ .

Voor een complex getal z definiëren we nu op basis van het bovenstaande

$\ln(z) = \ln(|z| e^{i \arg(z)}) = \ln(|z|) + i \arg(z)$ ,

met voor ln(|z|) de "normale" definitie van de natuurlijke logaritme voor reële getallen. Aangezien de logaritme zo slechts op veelvouden van 2π na bepaald is, spreken we af voor arg(z) altijd de hoofdwaarde te nemen. Daarmee geldt dus dat $-\pi < \mathfrak{Im}(\ln(z)) \leq \pi$ .

Met de definitie van de e-macht en de logaritme hebben we ook het gereedschap in handen om het machtsverheffen voor complexe getallen geheel te definiëren. En wel definiëren we voor complexe getallen z en w:

$\, z^w = e^{w \ln(z)}$ .

[bewerk] Sinus en cosinus

Met de formule van Euler

$\, e^{iz} = \cos(z) + i\sin(z)$

uit de voorgaande sectie kunnen we een verband leggen tussen de complexe e-macht en de sinus en cosinus.

Voor -z geldt:

$\,e^{-iz} = \cos(-z) + i\sin(-z) = \cos(z) - i\sin(z)$ .

Zodat uit de som en het verschil van beide relaties volgt dat:

$\cos(z) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}2$

$\sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$

Deze twee resultaten hebben drie voordelen:

door de afleiding zoals hierboven zijn ze zeker intern consistent met de rekenkunde zoals we die tot nog toe bedacht hebben voor complexe getallen
deze formules voor de sinus en cosinus komen overeen met de definities voor reëelwaardige argumenten
door deze identiteiten blijven bewijsbaar de bekende rekenregels voor sinus en cosinus overeind

Merk op dat, overeenkomstig het geval is voor de reële functies, de complexe sinus en cosinus periodieke functies zijn met periode $\, 2\pi$ .

[bewerk] Stelling van De Moivre

De eerder uitgewerkte omschrijvingen van goniometrische formules naar e-machten wordt vaak gebruikt om goniometrische functies te reduceren tot meer overzichtelijke polynomen op basis van e-machten en vandaar mogelijk weer tot makkelijkere, goniometrische uitspraken.

Een bekend voorbeeld hiervan is een zeer bekende stelling uit de goniometrie, de stelling van De Moivre. Gegeven het voorgaande is deze stelling overigens triviaal:

Stelling van De Moivre: $\,(\cos(x) + i\sin(x))^n = \cos(nx) + i\sin(nx)$

Bewijs: $\,(\cos(x) + i\sin(x))^n = (e^{ix})^n = e^{inx} = \cos(nx) + i\sin(nx)$

[bewerk] Sinus hyperbolicus en cosinus hyperbolicus

Met de complexe e-macht kunnen de definities van de sinus hyperbolicus en de cosinus hyperbolicus uitgebreid worden naar complexe getallen. Voor $z\in\mathbb{C}$ geldt:

$\cosh(z) = \frac{e^z + e^{-z}}{2}$

$\sinh(z) = \frac{e^z - e^{-z}}{2}$

[bewerk] Complexe wortelfuncties

Eerder hebben we vastgesteld dat voor complexe getallen z en w geldt:

$\,|zw| = |z||w|$

$\,\arg(zw) = \arg(z) + \arg(w)$ .

Hieruit kunnen we meteen afleiden wat de n^e-machtswortels van een complex getal z zijn. Per definitie zijn dit alle oplossingen w van de vergelijking $w n = z$ .

Het complexe getal w dat het meest voor de hand ligt is de w waarvoor geldt dat

$|w| = \sqrt[n]{|z|}$

$\arg(w) = \begin{matrix}\frac 1n \end{matrix} \arg(z)$ .

De periodiciteit van de goniometrie leert ons dat daarnaast ook die complexe getallen w een oplossing zijn waarvoor geldt dat:

$\arg(w) = \begin{matrix}\frac 1n \end{matrix}(\arg(z) + k2\pi),\ k \in \{1,\ldots,n-1\}$ .

Dus:

$\arg(w) = \begin{matrix}\frac 1n \end{matrix}\arg(z) + 2\pi \begin{matrix}\frac kn \end{matrix},\ k \in \{1,\ldots,n-1\}$ .

De n^e-machtswortels van een complex getal zijn in het complexe vlak dus precies n punten, regelmatig verdeeld over een cirkel om de oorsprong, met straal $\sqrt[n]{|z|}$ .

[bewerk] Voorbeeld

In het reële domein is de derdemachtswortel uit -1 gelijk aan -1. Maar met bovenstaande rekenregel vinden we dat ook $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{3}\ i$ en $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{3}\ i$ derdemachtswortels van -1 zijn.

En inderdaad is behalve:

$(-1)^3 = -1 ,\,$

ook:

$\left( \frac 12 + \frac 12 \sqrt{3}\ i \right)^3 = -1.$

en:

$\left( \frac 12 - \frac 12 \sqrt{3}\ i \right)^3 = -1.$

[bewerk] Hoofdwaarde

Zijn we geïnteresseerd in een unieke oplossing voor de wortelfunctie, dan kunnen we die waarde kiezen die gebaseerd is op de hoofdwaarde van arg(z) en daar weer de hoofdwaarde van nemen. In het bijzonder vinden we zo als 'unieke' wortel voor -1 de waarde i.

Merk op dat de bekende rekenregels niet gelden voor complexe wortels. Zo geldt niet : $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ .

[bewerk] Eenheidswortels

Een speciale rol is weggelegd voor de zgn. eenheidswortels. Dat zijn de oplossingen van de vergelijking

$\,z^n=1$ ,

waarin n een natuurlijk getal is. De oplossingen zijn de punten op de eenheidscirkel (cirkel met straal 1 om de oorsprong) die in polaire notatie gegeven worden door:

$\,z_k=e^{2\pi ik/n}$

[bewerk] Toepassingen

Complexe getallen zijn meestal weliswaar nauwelijks anders dan getallenparen, maar door de speciale rekenregels die ervoor gelden, zijn ze bijzonder nuttig voor onder meer het bestuderen van golfverschijnselen.

Toepassingsgebieden zijn: elektriciteitsleer (bijvoorbeeld complexe impedantie), signaalbewerking, regeltechniek, Fourieranalyse, lineaire transformaties, lineaire differentiaalvergelijkingen, differentievergelijkingen, digitale geluids- en beeldbewerking, telecommunicatie.

[bewerk] Complexe getallen in software

[bewerk] Rekenbladen

Een bekend rekenblad als Microsoft Excel of OpenOffice Calc maakt het gemakkelijk om met complexe getallen te rekenen. Een complex getal kan eenvoudig als een string, bijvoorbeeld '2+3i ingebracht worden. Er is een volledige serie functies beschikbaar om met deze grootheden te rekenen, bijvoorbeeld:

Optellen =IMSUM(x,y)
Vermenigvuldigen =IMPRODUCT(x,y)

Het gebruik van rekenbladen vergemakkelijkt daarmee het aanleren van complexe wiskunde aanzienlijk.

[bewerk] Talen voor numerieke bewerkingen

Talen als MATLAB, GNU Octave laten de gebruiker op een natuurlijke manier met complexe getallen werken.

> (2 + 3i) * (4 + 5i)
ans = -7 + 22i

[bewerk] Programmeertaal Scheme

Bij Scheme staan complexe getallen helemaal bovenaan de numerieke toren. Rekenkundige bewerkingen op complexe getallen zijn gedefinieerd voor de meeste functies.

[bewerk] Bibliotheek in C++

Zoals Fortran, geschreven in 1954, heeft ook de programmeertaal C++ een standaardbibliotheek voor het rekenen met complexe getallen. (Zie headerfile complex.h. De Unix-gebruiker kan man complex typen om meer over de C++-implementatie te lezen.) Dit is overigens een van de meest overtuigende mooie voorbeelden van operator-overloading in C++: de programmeur kan de vertrouwde +, -, * en / blijven gebruiken in expressies.

Verder is er in C en C++ de handige functie atan2() die een resultaat in alle vier de kwadranten kan opleveren. (Merk op dat de gebruikelijke arctangens functie op rekenmachines en computers, atan(), niet altijd de juiste hoek oplevert).

[bewerk] Externe verwijzingen (in het Engels)

Categorieën: Getal | Complexe analyse

Complex getal

Inhoud

[bewerk] Inleiding

[bewerk] Geschiedenis

[bewerk] Definitie

[bewerk] Alternatieve definitie

[bewerk] Voorstelling

[bewerk] Voorbeelden

[bewerk] Andere voorstellingen

[bewerk] Notaties voor complexe getallen

[bewerk] Cartesische of algebraïsche notatie

[bewerk] Notatie met poolcoördinaten

[bewerk] Complexe getallen en gerelateerde waarden

[bewerk] Complex geconjungeerde

[bewerk] Modulus

[bewerk] Voorbeelden

[bewerk] Modulus van de complex geconjungeerde

[bewerk] Ordening

[bewerk] Rekenen met complexe getallen

[bewerk] Optellen en aftrekken

[bewerk] Vermenigvuldigen en delen

[bewerk] Logaritme en e-macht

[bewerk] Sinus en cosinus

[bewerk] Stelling van De Moivre

[bewerk] Sinus hyperbolicus en cosinus hyperbolicus

[bewerk] Complexe wortelfuncties

[bewerk] Voorbeeld

[bewerk] Hoofdwaarde

[bewerk] Eenheidswortels

[bewerk] Toepassingen

[bewerk] Complexe getallen in software

[bewerk] Rekenbladen

[bewerk] Talen voor numerieke bewerkingen

[bewerk] Programmeertaal Scheme

[bewerk] Bibliotheek in C++

[bewerk] Externe verwijzingen (in het Engels)

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen