Pi

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Nota: Se procura outros significados de PI/Pi, consulte PI.

A letra grega π mínúscula é usada como símbolo do Pi

Na matemática, $π$ é um número irracional, resultado da divisão do comprimento de uma circunferência pelo seu diâmetro. É representado pela letra grega π. É considerado como sendo um número transcendental.

Tem o valor aproximado de 3,141.592.653.589.793.238.462.643.383.279.502.884.197.169.399.375.105.820.974.944.592.

Índice

1 “História” do π
2 Memorização
3 Características
- 3.1 O cálculo isolado das decimais π
4 Questões sem resposta
5 Ver também
6 Referências
7 Ligações externas

[editar] “História” do $π$

Matemáticos no Egito antigo descobriram que a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro é a mesma para qualquer circunferência. Eles definiram o que chamamos hoje de $π$ como um número “um pouco maior que 3”.

Matematicamente falando, se considerarmos c como o comprimento de uma circunferência e d como o diâmetro, temos o seguinte cálculo:

${c \over d} = \pi \Rightarrow c = \pi \cdot d$

Portanto, eles tinham uma noção do valor do $π$ mas ainda estavam a alguns séculos de distância de um resultado mais exato. Os egípcios chegaram ao valor aproximado de 3,16 há 3500 anos partindo de um quadrado inscrito em uma circunferência, cujo lado media nove unidades. Eles, então, dobraram os lados do quadrado para obter um polígono de oito lados e calcularam a razão entre os perímetros dos octógonos inscrito e circunscrito e o diâmetro da circunferência.

Um dos mais conhecidos matemáticos da Antigüidade, Arquimedes, que viveu em torno do século III a.C. na Grécia, também quis descobrir a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Ele partiu de um hexágono regular e calculou os perímetros dos polígonos obtidos dobrando sucessivamente o número de lados até chegar a um polígono de 96 lados. Com esse perímetro calculado, ele definiu que o valor de $π$ estaria entre 3,1408 e 3,1428.

Ptolomeu, que viveu em Alexandria aproximadamente no século III d.C., calculou pi tomando por base um polígono de 720 lados inscrito numa circunferência de 60 unidades de raio. Seu valor foi aproximadamente 3,1416. Considerando o que sabemos atualmente, sua aproximação foi bem melhor que a de Arquimedes.

A “busca” pelo valor de $π$ chegou até à China, onde Liu Hui, um copiador de livros, conseguiu obter o valor 3,14159 com um polígono de 3.072 lados. Mas só no final do século V que o matemático Tsu Ch'ung-chih chegou a um valor mais complexo: entre 3,1415926 e 3,1415927.

Nesta mesma época, o matemático hindu Aryabhata deixou registrado em versos num livro a seguinte afirmação: “Some-se 4 a 100, multiplique-se por 8 e some-se 62.000. O resultado é aproximadamente uma circunferência de diâmetro 20.000”.

Analisando matematicamente e considerando a equação citada anteriormente de $c = \pi \cdot d$ :

$(4 + 100) \cdot 8 + 62000 = \pi \cdot 20000 \Rightarrow$

$104 \cdot 8 + 62000 = \pi \cdot 20000 \Rightarrow$

$832 + 62000 = \pi \cdot 20000 \Rightarrow$

$62832 = \pi \cdot 20000 \Rightarrow$

${62832 \over 20000} = \pi$

O valor de $π$ , portanto, seria 3,1416. Obviamente, quanto maior o número de casas decimais, melhor a aproximação do valor real de pi. Mas devemos considerar que, na época, isso não era algo fácil de se calcular.

O maior cálculo de casas decimais até o século XV foi 3,1415926535897932 feito pelo matemático árabe al-Kashi. O matemático holandês Ludolph van Ceulen, no final do século XVI, calculou um valor de $π$ com 35 casas decimais, começando com um polígono de 15 lados, dobrando o número de lados 37 vezes, e, logo em seguida, aumentando o número de lados. Por curiosidade, sua esposa mandou gravar em seu túmulo o valor de $π$ com essas 35 casas decimais.

Hoje em dia é relativamente mais fácil, com os computadores modernos que calculam até bilhões de casas decimais para $π$ .

Uma aproximação de $π$ que apresenta diferença de aproximadamente 2,667641890623587E-7 é a seguinte:

${355 \over 113} = \pi$

[editar] Memorização

Para memorizar o valor de $π$ costuma-se utilizar do artifício de usar palavras com a quantidade de letras de cada algarismo do número ^[1]. Uma sentença famosa em língua portuguesa é:

Nós	e	todo	o	mundo	guardamos	pi	usando	letra	por	número
3,	1	4	1	5	9	2	6	5	3	6

Outras sentenças:

Até a nado a Maria encontrou na margem peixe bem lindo.
Sim, e útil e fácil memorizar um número grato aos sábios.
Vai à aula o aluno apreender um número usado nos arcos.
Sou o medo e temor constante do menino vadio, bem vadio.

Em inglês há uma atribuída a Isaac Asimov:

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!

[editar] Características

$π$ é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a razão entre dois números inteiros naturais. A irracionalidade de $π$ foi demonstrada em 1761 por Johann Heinrich Lambert. Além de irracional, π é um número transcendente, o que foi provado por Ferdinand Lindemann em 1882. Isso significa que não existe um polinômio com coeficientes inteiros ou racionais do qual $π$ seja uma raiz. Como resultado disso, é impossível exprimir π com um número finito de números inteiros, de frações racionais ou suas raízes.

A transcendência de $π$ estabelece a impossibilidade de se resolver o problema da quadratura do círculo: é impossível construir, somente com uma régua e um compasso, um quadrado cuja área seja rigorosamente igual à área de uma determinada circunferência.

[editar] O cálculo isolado das decimais $π$

Em 1995, David Bailey, em colaboração com Peter Borwein e Simon Plouffe, descobriu uma fórmula de cálculo de π, uma soma infinita (freqüentemente chamada fórmula BBP):

$\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)$

Essa fórmula permite calcular facilmente a enésima decimal binária ou hexadecimal de $π$ sem ter que calcular as decimais precedentes. O sítio de Bailey contém sua derivação e implementação em diversas linguagens de programação. Graças a uma fórmula derivada da fórmula BBP, o 4 000 000 000 000 000° algarismo de $π$ em base 2 foi obtido em 2001.

[editar] Questões sem resposta

A questão em aberto mais importante é a de saber se $π$ é um número normal, isto é, se qualquer sucessão de algarismos aparece nas decimais de $π$ , como seria de se esperar em uma seqüência infinita e completamente aleatória de algarismos. Isso deveria ser verdadeiro em qualquer base, e não somente na base 10.

Também não se sabe que algarismos aparecem um número infinito de vezes na constituição de $π$ .

Bailey e Crandall demonstraram em 2000 que a existência da fórmula Bailey-Borwein-Plouffe mencionada acima e de fórmulas similares implicam a normalidade de $π$ em base 2.