Pi (szám)

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A π (pi) egy matematikában és a fizikában használt valós szám. Az Euklideszi geometriában a kör kerületének és átmérőjének arányaként definiáljuk, a görög név (περιφέρεια, periféria = kerület) is erre utal. A π irracionális és transzcendens szám.

A $π$ értéke 50 helyiértékig:

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

Ez a pontosság többnyire bőven elegendő a mérnöki és tudományos munkákhoz, de a tizedes jegyek száma végtelen. A modern számítástechnikai módszerekkel már több mint 1 billió tizedesjegyig kiszámították az értéket, de semmilyen ismétlődési minta nem fedezhető fel a számokban.

Tartalomjegyzék

1 Történet
2 π-t tartalmazó képletek
3 Végtelen összeggel és szorzattal való közelítés
4 Matematikai tulajdonságai
5 Hivatkozások

[szerkesztés] Történet

A Pi, a kör területének kiszámításakor jelent meg, mint probléma. Már az i.e. 2000 körüli idõkbõl származó egyiptomi Rhind papiruszon található egy képlet, ami ezen probléma megoldására vonatkozik. A képletet alkalmazva 3,1605 értéket kapunk, ami ebben az idõben csodálatos pontosságnak számított.

Ugyanekkor Mezopotámiában egy lényegesen durvább közelítõ értéket használtak, és szinte minden országban, minden matematikával foglalkozó tudós más és más közelítést használt.

Kínában a Han-dinasztia alatt elrendelték a mértékegységek egységesítését. Ezt a munkát Liu Ci csillagász hajtotta végre. Ekkor történt a matematika történetében az az egyedülálló eset, hogy törvény szabta meg a Pi értékét (3,1547 volt).

A hinduk 500 körül már 3,1416-tal számoltak. A perzsák 16 tizedes jegyig számították ki az értékét. 1784-ben Shancks angol matematikus 30 évi munkával 707 tizedes jegyig számította ki, de 1944-ben a szintén angol Fergusson kimutatta, hogy az 528. tizedestõl kezdve tévedett.

Már a XVIII. századtól tudták, hogy a Pi irracionális szám, jelölésére a görög "Pi" betűt 1739-ben Euler javasolta.

[szerkesztés] π-t tartalmazó képletek

A $π$ sok olyan geometriai képletben szerepel, ahol körök és gömbök szerepelnek.

Geometria alakzat	Képlet
A kör kerülete r sugárból, d átmérőből	$K = \pi d = 2 \pi r \,\!$
A kör területe r sugárból	$T = \pi r^2 \,\!$
Az ellipszis területe, a és b féltengelyekből	$T = \pi a b \,\!$
A gömb térfogata r sugárból, d átmérőből	$V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{1}{6} \pi d^3 \,\!$
A gömb felülete r sugárból	$A = 4 \pi r^2 \,\!$
A henger térfogata h magasságból és r alapsugárból	$V = \pi r^2 h \,\!$
A henger felülete h magasságból és r alapsugárból	$A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!$
A kúp térfogata h magasságból és r alapsugárból	$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!$
A kúp felülete h magasságból és r alapsugárból	$A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 = \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!$

[szerkesztés] Végtelen összeggel és szorzattal való közelítés

A Viète-féle sor:

${\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots}\,\!$

A Leibniz-féle sor:

${\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdot...}\,\!$

A Wallis-formula:

${\frac{\pi}{2}=\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot...}\,\!$

A Euler-féle sor:

${\frac{\pi^2}{6}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...}\,\!$ ${\frac{\pi^4}{90}=1+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+...}\,\!$

William Brouncker lánctörtje:

${\frac{4}{\pi}=1+\frac{1^2}{2+\frac{3^2}{2+\frac{5^2}{2+\cdots}}}}\,\!$

Ramanujan-féle sorok:

${{\frac{4}{\pi}} = \sum^\infty_{n=0} \frac{(-1)^n(1123+21460n)(2n-1)!!(4n-1)!!}{882^{2n+1}32^n n!^3}}\,\!$

${{{99^2}\over{\sqrt{8}\pi}} = \sum_{n=0}^\infty {{(4n)!(1103+26390n)}\over{(n!)^4 396^{4n}}}}\,\!$

Csebisev-sorokból (1957)

${\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k(\sqrt{2}-1)^{2k+1}}{2k+1} = \frac{\pi}{8}.}\,\!$ ${\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k(2-\sqrt{3})^{2k+1}}{2k+1}=\frac{\pi}{12}.}\,\!$

Egy szimmetrikus formula (1997):

${\pi = \frac {\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty} \left (1 + \frac{1}{4n^2-1} \right )}{\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{4n^2-1}} = \frac {\displaystyle\left (1 + \frac{1}{3} \right ) \left (1 + \frac{1}{15} \right ) \left (1 + \frac{1}{35} \right ) \cdots} {\displaystyle \frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{35} + \cdots}}\,\!$