Pii (vakio)

Wikipedia

Tämä artikkeli kertoo luvusta. Katso Pii jos haluat nähdä sanan muita merkityksiä.

Luku pii (merkitään pienellä kreikkalaisella π-kirjaimella) on matemaattinen vakio, joka esiintyy monilla matematiikan ja fysiikan alueilla. Se tunnetaan myös nimillä Arkhimedeen vakio tai Ludofin luku.

Määritelmän mukaan pii on yhtä kuin ympyrän kehän suhde halkaisijaan (euklidisessa geometriassa). Vaihtoehtoisesti pii voidaan määritellä olevan r-säteisen ympyrän pinta-alan suhde r-sivuisen neliön pinta-alaan: $\frac{\pi r^2}{r^2} = \pi$ . Joissain analyysin kirjoissa pii määritellään pienimmäksi posiitiiviseksi luvuksi $x$ , jolle $sin(x) = 0$ .

Eukleideen Alkeet-teoksen luvussa XII todistetaan, että kahden ympyrän alan suhde on sama kuin niiden halkaisijoiden neliöiden suhde. Tästä seuraa, että ympyrän pinta-ala on vakio (=π/4) kertaa sen halkaisijan neliö. Pii on transsendenttiluku, minkä todisti Ferdinand Lindemann vuonna 1882, ja siten se on myös irrationaaliluku eli luku, joka on päättymätön ja jaksoton desimaaliluku.

[muokkaa] Piin historia

Yksi ensimmäisistä säällisistä π:n likiarvoista löytyy egyptiläisen matemaatikko Ahmosen laskutehtävälistoista, jotka löytyvät ns. Rhindin papyruksesta. Sen mukaan ympyrän pinta-ala on yhtä suuri kuin sellaisen neliön, jonka sivu on 8/9 ympyrän halkaisijasta. Tämä vastaa π:n likiarvoa 256/81 eli noin 3,16. Kreikkalainen filosofi ja matemaatikko Arkhimedes laski ympyrän kehän ja halkaisijan suhteen kolmen desimaalin tarkkuudella.

π:n likiarvo 100 desimaalin tarkkuudella on

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679

Missään tuskin koskaan tarvitaan tarkempaa likiarvoa, sillä 40 desimaalia riittää määrittämään maailmankaikkeuden ympäryysmitan vetyatomin halkaisijan tarkkuudella. Myöskään piin desimaaleista ei ole löytynyt teoreettisesti mitään mielenkiintoista.

1900-luvulla pii tunnettiin jo yli miljardin desimaalin tarkkuudella.