Ellips (wiskunde)

Een ellips in de meetkunde is een twee-dimensionale figuur die wordt gevormd door alle punten waarvoor de som van de afstanden (rode lijn in de figuur) tot twee gekozen punten, de brandpunten (f1 en f2 in de figuur), een vaste waarde heeft. Een ellips heeft twee assen: het lijnstuk door de brandpunten die tegenovergelegen punten van de ellips verbindt heet de lange as en het overeenkomstige lijnstuk loodrecht daarop door het midden van de lange as heet korte as.

De wiskundige vergelijking voor de punten (x,y) in een 2-dimensionaal assenstelsel die een ellips vormen met als snijpunt van de assen het punt (x₀,y₀), als horizontale as a en als verticale as b is:

Als het middelpunt van de ellips de oorsprong is, dan vereenvoudigt zich dit tot:

De excentriciteit e van de ellips is gedefinieerd als:

Als de twee brandpunten samenvallen, is sprake van een cirkel, en zijn a en b allebei gelijk aan de straal r. De excentriciteit is dan nul.

Inhoud 1 Constructie van een ellips 1.1 Tuinmansellips 1.2 Parametervergelijking 2 Zie ook 3 Externe link

[bewerk] Constructie van een ellips

[bewerk] Tuinmansellips

Een ellips kan worden getekend als volgt:

1. Druk twee duimspijkers in de brandpunten (of sla twee spijkers in een plank)
2. Maak een lus van een draadje en leg die lus rond de duimspijkers.
3. Zet een potlood tegen het draadje aan en trek het strak.
4. Teken met het potlood de ellips, er daarbij voor zorgend dat het draadje strak blijft.

Het draadje zorgt ervoor dat de som van de afstand tot de brandpunten vanaf elk punt van de ellips constant is, namelijk gelijk aan de lengte van het draadje minus de afstand tussen de punaises. Het op deze wijze construeren van een ellips wordt ook wel tuinmansellips genoemd, omdat men zo de randen van ellipsvormige perken aanlegt (uiteraard met piketten in plaats van punaises).

Indien de gewenste afmetingen van het perk bekend zijn (2 maal as a breed, 2 maal as b hoog, waarbij a groter dan b wordt verondersteld) leidt dit tot de volgende afstand tussen de piketten:

De lengte van het touw wordt dan: 2a

De oppervlakte van een ellips is gegeven door: π.a.b

[bewerk] Parametervergelijking

Een andere manier om een ellips te tekenen gaat uit van de ingeschreven en omgeschreven cirkel. De straal(radius)van de omgeschreven cirkel is gelijk aan de langste halve as a van de ellips, en die van de ingeschreven cirkel is gelijk aan de kortste halve as b van de ellips. Deze cirkels zijn concentrisch (zij hebben hetzelfde middelpunt). Trek nu vanuit het gemeenschappelijk middelpunt van de cirkels stralen naar buiten toe (zie animatie, in het rood). Vanuit het punt waar een straal de ingeschreven cirkel snijdt, trek je een lijn naar buiten toe (fig.: goud) en evenwijdig met de langste as van de te bekomen ellips, en waar de straal de omgeschreven cirkel snijdt, trek je een lijn naar binnen toe en evenwijdig met de kortste as van de te bekomen ellips. Waar beide lijnen elkaar snijden, bevindt zich een nieuw punt van de ellips (fig.: paars).

De parametervergelijking is m.a.w.:

x(t) = acos(t),

y(t) = bsin(t).

In vectorvorm: [acos(t),bsin(t)]

[bewerk] Zie ook

• Ellipsoïde (omwentelingslichaam van een ellips)
• Kegelsnede
• Slakstructuur (Architectuur/Stedenbouw)
• Pseudo-ellips

[bewerk] Externe link

• Omtrek en oppervlakte van een ellips.
• Bereken de omtrek van een ellips (en) .