Priemgetal
Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt 1 niet als priemgetal opgevat. Een getal dat groter dan 1 is en geen priemgetal, heet een samengesteld getal. Priemgetallen vormen een belangrijk onderwerp in de tak van de wiskunde die getaltheorie genoemd wordt. Een van de redenen hiervan is dat priemgetallen met zeer veel cijfers worden toegepast bij het beveiligen van digitale informatie, de cryptografie.
De eerste priemgetallen zijn: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, .
Inhoud |
[bewerk] Het getal 1 is geen priemgetal
Het getal 1 wordt meestal gezien als eenheid en niet als priemgetal of samengesteld getal, hoewel het vroeger als priemgetal werd beschouwd. Als een priemgetal wordt gedefinieerd als een getal dat deelbaar is door 1 en zichzelf, is 1 een priemgetal. Voor het ontbinden in factoren en in het bijzonder voor de hoofdstelling van de rekenkunde is het echter handiger om 1 niet als priemfactor te zien, of om het te zien als een impliciete factor die altijd aanwezig is en niet opgeschreven hoeft te worden. Om 1 uit te sluiten van de lijst priemgetallen kan de definitie van priemgetal luiden: een priemgetal is een getal dat deelbaar is door precies twee verschillende positieve factoren. De laatste professionele wiskundige die 1 als priemgetal aanduidde was Henri Lebesgue in 1899.
[bewerk] Ringtheorie
In de ringtheorie, een onderdeel van de abstracte algebra, beschouwt men als priemelement van een ring het element p dat de eigenschap heeft dat voor willekeurige elementen a en b geldt dat wanneer 
deelbaar is door p, er moet gelden dat a of b deelbaar is door p (of allebei). Uit deze definitie volgt dat een additieve inverse van een priemelement eveneens een priemelement is. Het is echter bewijsbaar dat in gangbare getallenverzamelingen, zoals de gehele getallen, een getal een 'priemgetal' is dan en slechts dan als het irreducibel is.
[bewerk] Ontbinding in factoren
De hoofdstelling van de rekenkunde zegt dat elk natuurlijk getal groter dan 1 een unieke ontbinding in priemfactoren heeft, d.w.z. geschreven kan worden als product van priemgetallen.
[bewerk] Priemgetallen vinden
Priemgetallen werden reeds door de oude Grieken bestudeerd. De oudste methode om priemgetallen te genereren is de zeef van Eratosthenes.
[bewerk] Hoeveel priemgetallen zijn er?
Er zijn oneindig veel priemgetallen. Dit werd al bewezen door Euclides, via het nu volgende bewijs uit het ongerijmde.
Stel dat 
de enige priemgetallen zijn. Het getal 
is door geen van deze getallen deelbaar, en moet dus hetzij zelf een priemgetal zijn, hetzij een ander priemgetal als deler hebben, wat in tegenspraak is met onze veronderstelling.
De aanname dat er slechts eindig veel priemgetallen zouden bestaan leidt tot een tegenspraak; er zijn derhalve oneindig veel priemgetallen.
[bewerk] Het grootst bekende priemgetal
De grootste bekende priemgetallen zijn de Mersenne-priemgetallen. Deze zijn van de vorm 2p-1, waarin p ook een priemgetal is. In september 2006 werd door wetenschappers van de Central Missouri State University,in het kader van het GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search project), het 48e Mersenne priemgetal ontdekt (tevens het grootste bekende priemgetal) Dit priemgetal is 232.582.657 − 1 en bestaat uit bijna 10 miljoen (9.808.358) cijfers.
[bewerk] Enkele eigenschappen van priemgetallen
- Als p een priemgetal is en p deelt een product ab van natuurlijke getallen, dan is p een deler van a of b (zie ook hierboven). Deze eigenschap werd bewezen door Euclides en is bekend als Het lemma van Euclides. Het is gebruikt in sommige bewijzen van de uniciteit van de ontbinding in priemfactoren.
- De ring Z/nZ (zie modulair rekenen) is een lichaam (in België: veld) ofwel eindig lichaam dan en slechts dan als n een priemgetal is. Anders gezegd: n is een priemgetal dan en slechts dan als φ(n) = n − 1.
- Als p een priemgetal is en a is een willekeurig geheel getal, dan is ap − a deelbaar door p (kleine stelling van Fermat).
- Als p een priemgetal is anders dan 2 en 5, dan is 1/p altijd een repeterende breuk, met een periode van p-1 of een deler van p-1. Deze kan direct van de kleine stelling van Fermat afgeleid worden. 1/p uitgedrukt in een ander grondtal q (dus anders dan grondtal 10) heeft het vergelijkbare effect, gegeven dat p geen priemfactor is van q (zie repeterende breuk voor enkele interessante eigenschappen).
- Een geheel getal p > 1 is een priemgetal dan en slechts dan als (p − 1)! + 1 deelbaar is door p (stelling van Wilson); hierbij staat het uitroepteken voor de faculteit. Omgekeerd, een geheel getal n > 4 is samengesteld dan en slechts dan als (n − 1)! deelbaar is door n.
- Als n een positief geheel getal is, dan is er altijd een priemgetal p met n < p ≤ 2n (Postulaat van Bertrand).
- Sommering van de omgekeerden van alle priemgetallen resulteert in een divergente reeks. Meer precies, als S(x) de som van de omgekeerden van alle priem getallen p is met p ≤ x, dan S(x) = O(ln ln x) voor x → ∞ (zie Grote O notatie).
- Alle priemgetallen hebben de vorm 6n+1 of 6n-1, met als enige uitzonderingen 2 en 3, omdat de andere mogelijkheden alle deelbaar zijn door 2 of 3.
- Voor ieder priemgetal p > 2, bestaat er een natuurlijk getal n zodat p = 4n ± 1.
- Voor ieder priemgetal p > 3, bestaat er een natuurlijk getal n zodat p = 6n ± 1.
- Voor ieder priemgetal p > 3, bestaat er een natuurlijk getal n zodat p² = 24n + 1.
- In iedere rekenkundige rij a, a + q, a + 2q, a + 3q,... waarin de positieve gehele getallen a en q ≥ 1 onderling ondeelbaar zijn, zijn er oneindig veel priemgetallen (Stelling van Dirichlet).
- De karakteristiek van ieder lichaam (in België: veld) is nul of een priemgetal.
- Als G een eindige groep is en pn is de hoogste macht van het priemgetal p dat de orde van G deelt, dan heeft G een subgroep van orde pn (Stelling van Sylow).
- Als p een priemgetal is en G is een groep met pn elementen, dan bevat G een element van de orde p.
- De priemgetalstelling zegt dat het aantal priemgetallen kleiner dan x asymptotisch x/(ln x) nadert.
[bewerk] Onbeantwoorde vragen over priemgetallen
Er zijn veel onbeantwoorde vragen op het gebied van priemgetallen:
- Het vermoeden van Goldbach: Kan ieder even getal geschreven worden als de som van twee priemgetallen?
- Priemtweelingvermoeden: Een priemtweeling is een paar priemgetallen dat twee verschilt, zoals 11 en 13. Zijn er oneindig veel priemtweelingen?
- Bevat de reeks van Fibonacci oneindig veel priemgetallen?
- Zijn er oneindig veel Fermat-priemgetallen?
- Is er een priemgetal tussen n2 en (n + 1)2 voor elke n?
- Zijn er oneindig veel priemgetallen van de vorm n2 + 1?
- Is het illegale priemgetal ook echt onwettelijk?
[bewerk] Opmerkelijke citaten
- "Wiskundigen hebben tot de dag van vandaag vergeefs geprobeerd enige orde te ontdekken in de rij van priemgetallen, en we hebben reden te geloven dat het een mysterie is waartoe de menselijke geest nooit zal doordringen." — Leonhard Euler
- "God dobbelt misschien niet met het heelal, maar er is iets vreemds aan de hand met de priemgetallen." — Paul Erdős
[bewerk] Trivia
Onder wiskundigen wordt priem gebruikt als korte aanduiding van het begrip 'een priemgetal zijn'.
Bijvoorbeeld: 'Je weet toch wel dat 91 niet priem is?'.
[bewerk] Externe link
- Chris K. Caldwell: "The prime pages", http://www.utm.edu/research/primes/ (en)
| Bijzondere getallen |
|---|
|
Bevriende getallen · Bijna perfect getal · Constante van Gelfond · Constante van Kaprekar · e · Fermatgetal · Gebrekkig getal · Getal van Graham · Gulden snede · Illegaal priemgetal · Kaprekargetal · Mersennepriemgetal · Natuurlijk getal · Overvloedig getal · Perfect getal · Pi · Priemgetal · Priemtweeling · Quasiperfect getal · Samengesteld getal · Semiperfect getal · Sphenisch getal |
