Пи (математика)

от Уикипедия, свободната енциклопедия

ВНИМАНИЕ: Тази статия се нуждае от частичен или цялостен превод. Ако имате познания по използвания език, не се колебайте! Благодарим Ви, че помагате на Уикипедия!

Малката буква пи

Математическата константа π представлява отношението между периметъра на дадена окръжност и нейния диаметър и обикновено се използва в математиката, физиката и инженерните науки. Името на гръцката буква π се произнася „пи“. π е познато още като Архимедова константа (да не се бърка с Архимедовото число) и Лудолфово число.

[редактиране] Числова стойност

В Евклидовата геометрия π може да бъде дефинирано както като отношение между обиколката и диаметъра на една окръжност, така и като отношение на лицето на една окръжност към лицето на квадрат със страна нейния радиус. Във висшата математика π се дефинира аналитично чрез използване на тригонометрични функции, например като най-малкото положително x, за което sin(x)=0, или като удвоеното най-малко положително x, за което cos(x)=0. Всички тези дефиниции са еквивалентни.

Числовата стойност на π, закръглена до 64-тия знак след десетичната запетая, е:

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923...

Въпреки че тази точност е повече от достатъчна за използване в науката и техниката, през последните няколко века в изчисляването на повече цифри и изследването на свойствата на числото са положени много усилия. Независимо от многото аналитична работа, прибавена към изчисленията със суперкомпютри, определили повече от 1 трилион цифри на π, не е намерена закономерност в поредицата от цифри. Цифрите на π могат да се намерят на много места в Интернет и обикновен персонален компютър може да изчисли милиарди цифри с наличния софтуер.

Приблизителни стойности на Пи, изразени в обикновена дроб са: 22/7 (според Архимед) и 355/113 (по оценка на древните китайски математици).

Съществуват различни мнемотехнически начини за лесно запомняне на Пи. Пи, закръглено с точност до десетия знак, може да се запомни чрез изречението, в което всяка дума има съответстващия брой букви:

Как е леко и лесно запомнено Пи, всички знаят, щом желаят!

 3  1  4   1   5      9       2     6     5     3    6

Трябва да се отбележи, че за практически, ежедневни нужди, прецизност на Пи от 2 до 5 знака е достатъчна за почти всякакви сметки.

[редактиране] Особености

π е ирационално число, т.е. то не може да бъде представено като отношение на две цели числа. Това е доказано през 1761 от Йохан Хайнрих Ламберт. π е също трансцендентно число (доказано през 1882 от Фердинанд фон Линдеман). Това означава, че няма полином с рационални коефициенти, корен на който да е π. Вследствие на трансцедентността, π не е построимо число. От изискването координатите на всички точки, които могат да се построят с линия и пергел, да са построими числа, следва нерешимостта на задачата за квадратурата на кръга (построяване с линия и пергел на квадрат с лице равно на лицето на даден кръг).

[редактиране] Формули касаещи π

[редактиране] Геометрия

$π$ е част от много формули в геометрията, отнасящи се до окръжности и сфери.

Геометрична форма	Формула
Обиколка на окръжност с радиус r и диаметър d	$L = \pi d = 2 \pi r \,\!$
Лице на окръжност с радиус r	$S = \pi r^2 \,\!$
Лице на елипса с полуоси a и b	$S = \pi \frac{a b}{4}$
Обем на кълбо с радиус r и диаметър d	$V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{1}{6} \pi d^3 \,\!$
Площ на сфера с радиус r	$S = 4 \pi r^2 \,\!$
Обем на цилиндър с височина h и радиус r	$V = \pi r^2 h \,\!$
Обща площ на стените на цилиндър с височина h и радиус r	$S = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h = 2 \pi r (r + h) \,\!$
Обем на конус с височина h и радиус r	$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!$
Обща площ на стените на прав кръгов конус с височина h и радиус r	$S = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 = \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!$

(Всички формули са следствие от първата, ако лицето S на кръга бъде представено като $S = \int 2 \pi r dr$ .)

Също така, ъгъл от 180° (градуса) е равен на π радиана.

[редактиране] Анализ

Много от формулите в анализа съдържат π, включително представянето на безкрайни редове, интегралите и така наречените специални математически функции.

Формула на Виет, 1593 (доказателство):

$\frac{2}{\pi}= \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}{2}\ldots$
Формула на Лайбниц (доказателство):

$\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = \frac{\pi}{4}$
Представяне на Уолис (доказателство):

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n)^2-1} = \frac{\pi}{2}$
Алгоритъм на Бейли-Борвин-Плюф (вж. Bailey, 1997 и официална страница на Бейли)

$\pi=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{16^k}\left [ \frac {4}{8k+1} - \frac {2}{8k+4} - \frac {1}{8k+5} - \frac {1}{8k+6}\right ]$
Интегрална формула от анализа:

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$
Задача на Базел, решена от Ойлер (вж. също Риманова зета функция):

$\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$

$\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}$

и в заключение, $ζ(2 n)$ е рационално кратно на $π 2 n$ за цяло положително n.
Гама функция изчислена при стойност на аргумента 1/2:

$\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}$
Приближение на Стерлинг:

$n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$
Равенство на Ойлер (наречено от Ричард Файнман „най-забележителната формула в математиката“):

$e^{i \pi} + 1 = 0\;$
Следствие от Ойлеровата сума (вж. също анализ на Фурие):

$\sum_{k=1}^{n} \phi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2$
Лице на 1/4 от единичната окръжност:

$\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = {\pi \over 4}$
Следствие на теоремата за остатъка

$\oint\frac{dz}{z}=2\pi i ,$

където линията на интегриране е окръжност около центъра на координатната система с посока обратна на часовниковата стрелка.

[редактиране] Безкрайни дроби

π може да се представи с помощта на верижни дроби по много начини, най-известния от които е:

$\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}}$

(Други форми на представяне можете да намерите на The Wolfram Functions Site.)

[редактиране] Теория на числата

Някои изводи от теорията на числата:

Вероятността две произволни цели числа да са взаимно прости е 6/π².
Вероятността произволно избрано цяло число да не се дели без остатък от нито едно квадратно число е 6/π².
Средния брой начини по който едно положително цяло число може да бъде представено като сума на две квадратни числа е π/4.
Произведението от (1-1/p²) за прости p, е 6/π².

$\prod_{p\in\mathbb{P}} \left(1-\frac {1} {p^2} \right) = \frac {6} {\pi^2}$