Benadering

Onder een benadering van een grootheid verstaat men in de exacte wetenschappen een getalswaarde die voor een bepaald praktisch doel voldoende dicht in de buurt ligt van de exacte waarde van die grootheid. Zo zal het voor een timmerman in elke praktische situatie voldoende zijn de waarde 22/7 als benadering voor het getal π te gebruiken.

Naast getalswaardige benaderingen voor grootheden, worden ook benaderingen gegeven van functies en gehele probleemstellingen.

Benaderingen worden gebruikt

wanneer de exacte waarde niet bekend is, bijvoorbeeld bij natuurkundige grootheden;
wanneer de exacte waarde niet in eindig veel cijfers is uit te drukken, zoals bij het getal pi;
om een probleem te vereenvoudigden, zonder veel aan nauwkeurigheid in te boeten; zo is de eindige elementenmethode een methode om een complex probleem te benaderen door een eenvoudiger, hanteerbaar probleem, waarvoor een oplossing gevonden kan worden die de oplossing van het oorspronkelijke probleem voldoende benadert.

Benaderingen worden gegeven van:

getallen (constanten);
formules (door een rekenmachine)
functies rond een functiewaarde;
functies op een interval;
algoritmes; enz.

[bewerk] Getallen

Een eenvoudige methode voor het benaderen van getallen is het afronden op een beperkt aantal decimalen, bijvoorbeeld:

$\frac{1}{3} \approx 0,333$

[bewerk] Constanten

$\pi \approx 3,14$ , maar ook $\frac{22}{7}$ , $\frac{1}{3} \sqrt{120 - 18 \sqrt{3}}$ benaderen

π

lichtsnelheid c ≈ 300.000 km/s

Alle natuurkundige constanten werden experimenteel vastgesteld, en zijn aldus benaderingen van de werkelijkheid.

[bewerk] Opmerkingen

Zie ook Repeterende breuk: 0,999 is een benadering is van 1, maar 0,9999... (met een oneindig aantal negens) is gelijk aan 1. Zo is ook 0,33333... (met oneindig veel drieën) gelijk aan 1/3.

Bij het afronden van getallen gelden regels: zie afronden.

[bewerk] Formules

Een rekenmachine berekent een uitkomst door hem iteratief te benaderen, zolang, tot de nauwkeurigheid buiten het bereik van de rekenmachine valt (zo'n 12 cijfers). Hier volgt als voorbeeld het berekenen van een wortel. We bepalen de wortel uit 40:

Als eerste benadering nemen we 6.

Als volgende benadering nemen we steeds het gemiddelde van de vorige benadering en 40 gedeeld door die vorige benadering.

De tweede benadering wordt dus

$x_2=\frac{1}{2}(6+\frac{40}{6})=6\frac 13=6{,}333...$

De derde

$x_3=\frac{1}{2}(x_2+\frac{40}{x_2})=6{,}32456...$

Vergelijk het resultaat met:

$\sqrt{40}=6{,}3245553203...$

Dit is het iteratief oplossen van de wortel, bij iedere berekening (iteratie), komen we met onze "gok" dichter bij de wortel van 40. Deze iteratie is erg snel convergerend: al na een vijftal iteraties ligt de nauwkeurigheid buiten de nauwkeurigheid van een rekenmachine.

zwarte punten: iteratieve benaderingen met de nauwkeurige begingok 6
blauwe punten: iteratieve benaderingen met de slechte begingok 2
roze: $\sqrt{40}$

Algemener kunnen vergelijkingen benaderd numeriek opgelost worden, met bijvoorbeeld het Newton-Raphson algoritme, of de Regula Falsi.

[bewerk] Functies rond een getalwaarde

[bewerk] Veelgebruikte benaderingen

De optica (oa. de kleermakersvergelijking) steunt op volgende benaderingen:

$\sin(\theta) \approx \theta$

$\cos(\theta) \approx 1$

$\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \approx \theta$ .

Overige veelgebruikte benaderingen:

$\frac{}{}(1+x)^n \approx 1+n x$

Telkens enkel geldig voor $θ$ of x gaande naar 0, en $θ$ in radialen.

Al deze afrondingen zijn gebaseerd op de taylorreeksontwikkelingen en kunnen daarmee afgeleid worden.

[bewerk] Taylorreeksontwikkelingen

Iedere functie kan benaderd worden in de buurt van een functiewaarde, volgens de taylorreeksontwikkeling

$f(x) = \sum_{n=0}^{k-1} \frac{(x-x_0)^n}{n!} f^{(n)}(x_0) + R_k$ ,

of (uitgeschreven):

$f(x)\approx f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+\frac{(x-x_0)^2}{2} f''(x_0)+\frac{(x-x_0)^3}{6} f'''(x_0)+...$ .

Het meest wordt echter de lineaire benadering gebruikt: de eerste orde ontwikkeling, oftewel de ontwikkeling die tot de eerste afgeleide van de functie nodig heeft.

[bewerk] Voorbeeld

Hieronder werd f(x) = sin(x) met een taylorreeks benaderd. De zwarte kromme is de "juiste", de donkeroranje stelt de taylorbenadering voor. Van links naar rechts: lineaire benadering (eerste orde), tweede orde, en derde orde benadering. Er werd benaderd rond $x = π / 4$ (in het midden van de figuur).

We merken op dat ver weg van de functiewaarde waarrond benaderd werd, de overeenstemming met de kromme verdwijnt! Hieronder de derde orde benadering, die erg afwijkt:

Nu kunnen we benadering van $sin(θ)$ , $cos(θ)$ voor x gaande naar nul aantonen (eerst de derde orde benadering, daarna de tweede orde benadering):

$\sin(x) \approx x-1/6x^3 \approx x$

$\cos(x) \approx 1-1/2x^2 \approx 1$

[bewerk] Functies in een interval

[bewerk] Splines

Men kan een willekeurige kromme benaderen in een interval door een aantal punten op die kromme te kiezen, en dan de functiewaarden te verbinden. Zowel het kiezen van de punten als het verbinden kan op verschillende manieren gebeuren:

[bewerk] Kiezen punten

Een eerste manier is het gelijk verdelen van het interval, bijv. we hebben het interval [0,5], dan kiezen we punten 0,1,2,3,4 en 5. Uiteraard houdt deze verdeling geen rekening met de ingewikkeldheid van een functie - plaatsen waar veel verandert krijgen evenveel punten als intervallen waar niets gebeurd.

[bewerk] Keuze verbinden (interpoleren)

We kunnen de bekomen punten (functiewaarde van de hierboven geselecteerde punten) gewoon lineair verbinden (met een lijn). We kunnen ook een kwadratische, kubische interpolatie uitvoeren.

[bewerk] Voorbeeld

Links een functie (hier nemen we $f (x) = s i n (x) + 2 * c o s (x)$ ), en we kiezen een aantal punten (gelijk verdeeld over [0,5]): 1,2,3,4 en 5.

Rechts de functie, en de benaderingen (kromme: blauw, lineair: rood, kwadratisch: groen, kubisch: bruin). We merken op dat de lineaire benadering zwakjes is, maar de eerstegraads spline (kwadratisch), en de hogere (kubisch, ...) benaderen de kromme een stuk beter. Dit uiteraard geholpen doordat we met een erg brave, continue kromme werken.

Voor minder continue functies moeten we het aantal punten opschroeven, of een hogeregraads spline nemen.

[bewerk] Fourierreeks

Een andere manier om een willekeurige functie in een interval te benaderen, is gebruikmaken van Fourieranalyse: we vormen de functie om tot een Fourierreeks, zijnde een oneindige som van (co-)sinusfuncties.

[bewerk] Voorbeeld

We willen volgende functie benaderen:

We bepalen de fouriercoëfficiënten.

$c_k=1/p \int_p f(x) e^{-\imath k \omega t} dt$

Hieruit kunnen we de originele functie f opnieuw opbouwen, namelijk uit een som van complexe exponentiëlen (ev. sinus en cosinus), volgens:

$\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \phi_k$ .

Voor onze benadering sommeren we niet over alle termen, maar een begrensd aantal.

Dit zijn de gevonden benaderingen, de nauwkeurigheid is oplopend: 1 term, 3 termen, 10, 50 en 150 termen. Merk op dat het discontinue sprongpunt maar moeilijk benaderd wordt (logisch, de functies waaruit de benadering is opgebouwd zijn continu).

[bewerk] Algoritmes

Sommige exacte algoritmes hebben een complexiteit die dermate hoog is (m.a.w. het programma duurt enorm lang), dat er heuristische algoritmes voor bedacht zijn, algoritmes die veel sneller werken, maar niet 100% juist werken.

[bewerk] Voorbeeld

Voor het controleren of een getal A priem is, moeten alle onderliggende getallen (tot de wortel van A) gecontroleerd worden. Er bestaan snellere algoritmes, die echter niet waterdicht zijn: de Lucas-test en de pseudo-primality test. Samen uitgevoerd werken die veel sneller dan alle onderliggende getallen aflopen, en toch zijn er geen getallen gekend die in deze test een verkeerd resultaat geven.

[bewerk] Eindige elementen-methode

Voor het hoofdartikel, zie Eindige-elementenmethode

Gewenste nauwkeurigheid ingeven in een eindige elementenpakket (PowerFrame)

Voor complexe problemen waar geen analytische oplossing voor bestaat, kan de benadering door eindige elementen helpen. Deze manier

deelt het hoofdprobleem (staaf, geleider, buizenstelsel) op in honderden kleinere stukjes;
stelt voor ieder stukje de vergelijkingen op (bijv. qua krachten, druk, elektrische lading);
lost het stelsel opgebouwd uit de vergelijkingen van de honderden stukjes op; en
toont de gebruiker de oplossing.

Belangrijk op te merken is, dat een dergelijk programma enkel maar benadert. De gewenste nauwkeurigheid kan ingegeven worden (zie foto links). Uit het programma volgen enkel cijferwaarden (spanningen, ladingen, ed), die gevisualiseerd kunnen worden (zie onder).

De "plot" van de normaalkrachten.

[bewerk] Voorbeeld

We zoeken de krachtverdeling in het volgend vakwerk (bovenkant).

De geometrie van het probleem ingeven (een vakwerk);
De randvoorwaarden beschrijven (in dit geval de oplegging);
De materiaaltypen ingeven (uit welk materiaal is alles gemaakt, welke profielen werden gebruikt?)
De krachten definiëren (in dit geval een constante kracht);

Daarna

Het programma de benodigde rekken en krachten laten uitrekenen;

en uiteindelijk

Alle krachten, spanningen, rekken ed aflezen.

[bewerk] Voorbeelden

de benadering van Stirling, voor het berekenen van faculteiten
de vorm van onze aarde kan benaderd worden door een bol, een betere benadering is een oblate ellipsoïde.

Categorieën: Numerieke wiskunde | Formele wetenschap

Benadering

Inhoud

[bewerk] Getallen

[bewerk] Constanten

[bewerk] Opmerkingen

[bewerk] Formules

[bewerk] Functies rond een getalwaarde

[bewerk] Veelgebruikte benaderingen

[bewerk] Taylorreeksontwikkelingen

[bewerk] Voorbeeld

[bewerk] Functies in een interval

[bewerk] Splines

[bewerk] Kiezen punten

[bewerk] Keuze verbinden (interpoleren)

[bewerk] Voorbeeld

[bewerk] Fourierreeks

[bewerk] Voorbeeld

[bewerk] Algoritmes

[bewerk] Voorbeeld

[bewerk] Eindige elementen-methode

[bewerk] Voorbeeld

[bewerk] Voorbeelden

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen