Gottfried Wilhelm Leibniz

Gottfried Wilhelm (von) Leibniz (Leipzig, 1 juli 1646 – Hannover, 14 november 1716) was een veelzijdig Duits wiskundige, natuurkundige, filosoof, historicus, rechtsgeleerde en diplomaat en wordt beschouwd als een van de grootste denkers van de 17e eeuw.

Hij werd geboren in Leipzig. Hij ontwikkelde samen met (maar onafhankelijk van) Isaac Newton een tak van de wiskunde die bekend staat als de 'calculus' (differentiaal- en integraalrekening). Hij staat te boek als een voorloper van de Duitse Verlichting, de Aufklärung .

Inhoud 1 Leibniz, de filosoof 2 Leibniz, de wiskundige 3 Ontwikkeling van de calculus 4 De eerste publicatie van de calculus 5 Leibniz' latere leven

[bewerk] Leibniz, de filosoof

Zijn leven lang zocht Leibniz naar een allesomvattende synthese voor wetenschap en filosofie. In 1714 publiceerde hij zijn werk La Monadologie, waarin hij stelde dat alles bestaat uit ontelbare eenheden of krachtpunten van verschillende bewustzijnsgraad die hij monaden noemde, de individuele eigenschappen die het verleden, heden en toekomst van elk ding zouden bepalen. Hoewel de monaden onafhankelijk van elkaar waren, was hun interactie voorspelbaar. Voor hem betekende dat dat christelijk geloof en wetenschappelijke redenering niet met elkaar in tegenspraak hoeven te zijn. Hij ging uit van een tevoren door God vastgelegde orde (van de monaden) en gaf dit principe de naam harmonia praestabilita. Deze visie werd overigens geridiculiseerd door Voltaire in zijn Candide ou l'optimisme.

Zijn vader, Friedrich Leibnutz, was verbonden aan de filosofiefaculteit van de universiteit van Leipzig. Leibniz, die zijn naam veranderde, was nog maar zes toen zijn vader overleed. Maar op die leeftijd had de jonge Gottfried al een passie ontwikkeld voor lezen en studeren. Hij leerde Latijn en bestudeerde zijn vaders bibliotheek, die vol stond met Latijnse klassiekers, filosofische en religieuze werken.

In 1661, toen Leibniz 15 was, betrad hij de universiteit van Leipzig om filosofie te studeren. In de zomer van 1663 maakte hij kennis met elementaire algebra en Euclidische meetkunde op de universiteit van Jena. Hier begon hij zijn ideeën van een universeel 'alfabet van de menselijke gedachten' te ontwikkelen. Hierin probeerde hij menselijke gedachten vorm te geven door middel van een voor iedereen begrijpelijke tekentaal van symbolen.

Hij haalde zijn graad in 1664. Zijn dissertatie voor de graad van doctor in de rechten werd geweigerd. De reden daarvoor was waarschijnlijk vanwege zijn leeftijd, maar misschien ook politieke problemen. Hierom verliet hij Leipzig en kreeg hij deze graad op twintigjarige leeftijd aan de universiteit van Altdorf in Neurenberg.

Hierna kwam hij in dienst van de keurvorst van Mainz (Mainz was een van de kleine staatjes waarin Duitsland destijds was opgedeeld). Gedurende de rest van zijn leven bekleedde hij verscheidene belangrijke posities.

Leibniz streefde zijn hele leven naar harmonie op zoveel mogelijk fronten. Behalve zijn monadenleer en zijn tekentaal trachtte hij tevens zoveel mogelijk wetenschappers tot samenwerking te bewegen. Hij stichtte (min of meer) de Berlijnse Academie van Wetenschappen en ondernam ook pogingen om alle christelijke kerken nader tot elkaar te brengen.

In 1671 bouwde hij een mechanische rekenmachine die kon vermenigvuldigen en delen. Vanaf 1676 tot aan zijn dood was hij bibliothecaris van Hannover. In 1682 richtte hij samen met Otto Mencke het tijdschrift Acta Eruditorum op, dat in die tijd een ruime verspreiding kende. De meeste van zijn artikelen werden dan ook daarin gepubliceerd.

[bewerk] Leibniz, de wiskundige

In 1672 vertrok Leibniz naar Parijs. Op dit moment was zijn wiskundige kennis beperkt tot de meesterwerken van de oude Grieken. Om zijn kennis verder te ontwikkelen moest hij de actuele ontwikkelingen in de wiskunde bestuderen. Het kwam hem daarom goed uit dat hij Christiaan Huygens ontmoette. Huygens begeleidde Leibniz in zijn studies en vertelde hem welke eigentijdse problemen hij moest bestuderen. Hij verkreeg ongepubliceerde manuscripten van Blaise Pascal en van René Descartes. Huygens vroeg hem de som S van de omgekeerde driehoeksgetallen uit te rekenen. Leibniz loste het probleem als volgt op. In de eerste plaats deelde hij de reeks door twee en verkreeg daarmee

Hierna zag hij dat dit gelijk moet zijn aan

hetgeen we tegenwoordig zouden herkennen als een telescoopreeks. Dus Leibniz concludeerde dat S = 2.

Leibniz werd erg handig in het berekenen van oneindige sommen door zijn harmonische driehoek te gebruiken. Dit zegt iets over zijn interesse in sommen en verschillen, die hij later in zijn ontwikkeling van de calculus zou gebruiken.

[bewerk] Ontwikkeling van de calculus

In 1673 bezocht Leibniz Londen. Hij bracht zijn model voor een 'rekenmachine' mee. Hij werd gekozen als lid van de 'Royal Society', waar ook Newton lid van was. Hier zag hij ook een aantal van Newtons manuscripten en was erg onder indruk. Later zou dit voor de Britten een reden vormen om Leibniz van plagiaat te beschuldigen. Het is mogelijk dat hij Newtons De Analysi gezien heeft, maar het is onwaarschijnlijk dat Leibniz hier veel aan heeft gehad, vanwege zijn gebrekkige kennis van de meetkunde en de analyse. Hij praatte met een aantal belangrijke personen, zoals Robert Boyle, Robert Hooke en John Pell. Pell wees Leibniz op zijn gebrekkige wiskundige kennis. Leibniz ging terug naar Parijs om hogere meetkunde te bestuderen met hulp van Huygens. Nog steeds in 1673 ontwikkelde hij zijn algemene methode om hellingen te berekenen. De drie volgende jaren maakte Leibniz een enorme wiskundige ontwikkeling door en ontwikkelde hij de fundamentele principes van de calculus.

Leibniz' resultaten op het gebied van sommen en verschillen waren niet nieuw. Het feit dat veel van zijn kennis zelf aangeleerd was leidde vaak tot het herontdekken van reeds bestaande wiskunde. Het belangrijke van wat hij deed met sommen en verschillen was dat hij deze begrippen ging bekijken in de meetkunde. Hij bekeek wat sommen en verschillen bij krommes inhielden. Een kromme bekeek hij als een veelhoek met oneindig veel zijdes.

De verschillen werden nu oneindig klein en werden differentialen. Voor het verschil gebruikte hij het symbool d (van differentia) en voor de som het symbool ∫ wat een uitgerekte s (van summa) moet voorstellen. Analoog aan de discrete sommen volgt het dat ∫ dy = y. Maar een oneindige sommatie van eindige termen ∫ y kan heel goed oneindig zijn, dus vermenigvuldigde Leibniz y met dx en verkreeg de oneindige kleine oppervlakte ydx, hetgeen wel weer gewoon geïntegreerd kan worden. Merk op dat Leibniz in staat was dx, dy of de 'zijde van de veelhoek' ds constant te kiezen. Omdat hij de calculus vanuit het idee van sommen en verschillen als tegengestelde operaties ontwikkelde, is het gelden van de hoofdstelling van de integraalrekening 'evident' (daar is het eigenlijk allemaal mee begonnen). Net als Newton, was Leibniz meer geïnteresseerd in het oplossen van differentiaalvergelijkingen, dan het vinden van oppervlakten in het bijzonder.

[bewerk] De eerste publicatie van de calculus

Leibniz zat een beetje in over zijn gebruik van infinitesimalen. Omdat dit begrip niet goed gedefinieerd was, wist hij dat het veel kritiek op zou leveren. Dus in de eerste publicatie van de calculus introduceerde hij dx als een willekeurige eindig lijnsegment. Hij publiceerde dit artikel in 1684 in de `Acta Eruditorum', een wetenschappelijk tijdschrift waar hij zelf aan meewerkte. Dit artikel draagt de lange titel: Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque tangentibus, qua nec fractas, nex irrationales quantitates moratur, et singulare pro illi calculi genus

Hij begon met het 'definiëren' van de symbolen die hij gebruikt. Hij 'definieerde' dx and dv als lijnsegmenten die hetzelfde quotient hebben als x en v. Leibniz zei niet dat deze grootheden infinitesimaal zijn. Vervolgens gaf hij een aantal regels van de calculus, waaronder de productregel en de quotiëntregel. Hij legde uit wat het inhoudt als dx nul of oneindig is, en wat de tweede differentiaal d(dx) representeert. Hierna vertelde Leibniz dat (als a constant wordt gekozen) en gaf hij een aantal voorbeelden van deze regel, waaronder gebroken en negatieve exponenten.

Hij zei: Het algoritme van deze calculus kennende, wat men differentiaalrekening kan noemen, kunnen alle differentiaalvergelijkingen met dezelfde methode worden opgelost.

Dit was een beetje te optimistisch. Vervolgens legde hij uit dat zijn methode erg gemakkelijk is en veel algemener dan andere methoden. Leibniz introduceerde de term transcendental. Hierna legde hij uit hoe hij een kromme zag als een veelhoek van oneindig veel zijden, met als zijden de differentialen dv. Hij introduceerde zijn notatie ':' voor vermenigvuldiging, hetgeen nog steeds veel gebruikt wordt. Verder liet hij in dit artikel zien hoe hij met zijn methode de formule kon afleiden voor de breking van licht wanneer het van het ene medium naar het andere gaat en toonde opnieuw aan hoe gemakkelijk het probleem met zijn differentiaalrekening wordt opgelost.

Leibniz presenteerde het artikel op een opmerkelijke manier. In het begin gaf hij een lijst met regels van zijn differentiaalrekening. Hij bewees geen van deze regels, omdat hij zijn gebruik van infinitesimalen niet kon rechtvaardigen. In plaats hiervan gaf hij een aantal voorbeelden om te laten zien dat zijn methode werkt, en zelfs prettig en gemakkelijk. Hij verkocht zijn nieuwe techniek door problemen op te lossen die daarvoor nog niet zo gemakkelijk waren op te lossen. In plaats van zijn methode te bewijzen gaf hij een 'show' waarin hij liet zien dat het fantastisch werkt.

[bewerk] Leibniz' latere leven

• In 1642 had Pascal de eerste mechanische rekenmachine gebouwd, waarmee men kon optellen en aftrekken. In 1671 borduurde Leibniz hierop verder door een mechanische rekenmachine te ontwikkelen die kon vermenigvuldigen en delen (1671).
• Leibniz was bibliothecaris van Hannover vanaf 1676 tot aan zijn dood.
• Hij richtte samen met Otto Mencke in 1682 het tijdschrift Acta Eruditorum op, die in die tijd naast het Journal des Savants als het wetenschappleijke tijdschrift bij uitstek een ruime verspreiding kende. De meeste van zijn artikelen werden dan ook daarin gepubliceerd.

Meer afbeeldingen die bij dit onderwerp horen kunt u vinden in de categorie Gottfried Leibniz van Wikimedia Commons.