Číslo pí
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Číslo pí (označované řeckým písmenem pí, π, podle řeckého περιφέρεια periféreia, obvod) vyjadřuje poměr obvodu kruhu (ležícího v rovině) k jeho průměru. Tento poměr je pro všechny průměry kruhu stejný, rovný přibližně:
Číslo π bývá také označováno jako Ludolfovo číslo.
Obsah |
[editovat] Vlastnosti
Číslo π je iracionální, nedá se vyjádřit jako zlomek s celočíselnými koeficienty (a jeho přesnou hodnotu nelze zapsat konečným desetinným rozvojem). π je dokonce transcendentní, tzn. neexistuje žádný polynom s racionálními koeficienty, jehož by π bylo kořenem.
Transcendentalita čísla π také znamená, že klasická úloha kvadratury kruhu (sestrojit čtverec o stejném obsahu jako daný kruh jen pomocí pravítka a kružítka) není řešitelná.
[editovat] Historie
Toto číslo bylo známo již v antice, např. Babyloňané používali asi v roce 2000 př. n. l. hodnotu 25/8 = 3,125. Egypťané v té době používali hodnotu 3,16045. V novodobé historii se proslavil v roce 1615 nizozemský matematik a profesor na univerzitě v Leidenu Ludolph van Ceulen [vyslov: ludolf fan kélen], který jeho hodnotu vyčíslil na 35 desetinných míst.
V roce 1761 Johann Heinrich Lambert dokázal, že číslo je iracionální, německý matematik Lindeman pak v roce 1882 dokázal, že je transcendentní.
[editovat] Vzorce obsahující π
Číslo π je jednou z nejzákladnějších matematických konstant a objevuje se v mnoha vzorcích a výrazech nejen z matematiky.
[editovat] Geometrie
Už z definice je zřejmé, že π se bude objevovat ve výrazech týkajících se kruhů a koulí.
- Obsah kruhu o poloměru r:
- Obsah elipsy o poloosách a a b:
- Povrch koule o poloměru r:
- Objem válce o poloměru r a výšce h:
- Povrch válce o poloměru r a výšce h:
- Objem kuželu o poloměru r a výšce h:
- Povrch kuželu o poloměru r a výšce h:
-
- π radiánů je rovno 180°.
[editovat] Analýza
π se objevuje ve vzorcích pro součty nekonečných řad, integrálech atd.
- Leibnizova řada
- Chybová funkce
- Basilejský problém (viz též Riemannova funkce)
-
- Obecně, ζ(2n) je racionálním násobkem π2n pro libovolné n celé kladné.
- Hodnota funkce gama v 1/2:
- Stirlingův vzorec
- Eulerova rovnost (Richardem Feynmanem označená za „nejpozoruhodnější matematický vzorec“)
- Plocha čtvrtiny jednotkového kruhu:
[editovat] Řetězové zlomky
Číslo π lze pomocí řetězových zlomků vyjádřit mnoha způsoby. Mezi nimi například:
[editovat] Teorie čísel
- Pravděpodobnost, že dvě náhodně zvolená celá čísla jsou nesoudělná, je
.
[editovat] Pravděpodobnost a statistika
V rovnicích popisujících mnohá rozdělení se vyskytuje číslo π, například:
- Hustota pravděpodobnosti u Cauchyova rozdělení:
Se znalostí faktu, že pro libovolnou hustotu pravděpodobnosti platí, že , lze z předchozích vzorců odvodit další vzorce pro výpočet čísla π.
[editovat] Fyzika
- Princip neurčitosti:
- Einsteinova rovnice z obecné teorie relativity:
Přítomnost čísla π v těchto vzorcích je ovšem pouze důsledek volby fyzikálních jednotek, je to tedy pouhá konvence. Vyjádříme-li totéž v tzv. přirozené soustavě jednotek většina číselných konstant ze vzorců zmizí, aniž by se změnil fyzikální význam.
[editovat] Přibližné hodnoty
V praktických výpočtech obvykle stačí jen hrubé přiblížení hodnoty π pomocí několika prvních číslic desetinného rozvoje nebo jednoduchým zlomkem. Nejčastěji jsou používány zlomky 22/7 (tři platné číslice) nebo 355/113 (7 platných číslic). Další zlomky ještě přesněji aproximující číslo π lze určit pomocí jeho zápisu řetězovým zlomkem.
[editovat] Empirické určení hodnoty π
Zajímavý způsob přibližného určení hodnoty čísla π poskytuje Buffonův problém: Na desce jsou rovnoběžně nakresleny přímky, vzdálené mezi sebou S jednotek. Pokud se jehla o délce L jednotek (L > S) nechá n-krát náhodně dopadnout na tuto desku a při x z těchto n pokusů jehla dopadne tak, že překříží nějakou čáru (x > 0), pak pro velké n bude přibližně platit
[editovat] Výpočet π programem bc
V libovolně přesném kalkulátoru bc, obsaženém v unixových operačních systémech, můžeme číslo π vypočítat jako čtyřnásobek hodnoty arctg(1) takto (v tomto příkladu s přesností na 30 desetinných míst):
$ echo 'scale=30; 4*a(1)' | bc -l 3.141592653589793238462643383276
Takto získaný výsledek většinou obsahuje chybu na poslední číslici.
[editovat] Zápis π v desítkové soustavě
3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201...
[editovat] Memorování číslic
Rekord v memorování číslic čísla π je 100 000 desetinných míst (3. října 2006, Akira Haraguchi).
Je více způsobů, jak si zapamatovat co nejvíce míst desetinného rozvoje π.
Poměrně známé jsou mnemotechnické pomůcky pro zapamatování si čísla pí (pomocí počtu písmen ve slově): Sám u sebe v hlavě magického pí číslic deset mám. (9 za desetinnou čárkou); Lín a kapr u hráze prohlídli si rybáře, udici měl novou, jikrnáči neuplovou. (12 za desetinnou čárkou); Velký slovutný Archimedes, pomáhej trápenému, dej mu moc, nazpaměť nechť odříká ty slavné sice, ale tak protivné nám, ach, číslice Ludolfovy! (30 za desetinnou čárkou).
Dalším zajímavým způsobem jsou takzvané piemy – básně, které reprezentují π tím způsobem, že délka každého slova reprezentuje jednu číslici. Kupříkladu báseň Cadaeic Cadenza [1] reprezentuje prvních 3834 číslic.
[editovat] Podívejte se také na
- Eulerovo číslo
- Piphilology na anglické Wikipedii
- Cadaeic Cadenza na anglické Wikipedii
[editovat] Externí odkazy
- A000796 v OEIS (anglicky)
- π v encyklopedii Mathworld (anglicky)
- π na milion desetinných míst (anglicky)
- π na milion desetinných míst (česky)
- Text básně Cadaeic Cadenza (anglicky)