℮ (קבוע מתמטי)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

ערך זה עוסק בקבוע מתמטי e. לערך העוסק באות האנגלית E, ראו E.

e הוא קבוע מתמטי חשוב בעל שימושים רבים באנליזה. הקבוע משמש כבסיס הלוגריתם הטבעי, וניתן להגדיר אותו למשל כסכומו של הטור $\ \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots$ . זהו מספר טרנסצנדנטי, שייצוגו העשרוני מתחיל ב- $e \approx 2.71828 18284 59045 23536 02874...$ . הסימון של מספר זה הוכנס לשימוש על ידי אוילר ב- 1727 ואף קרוי על שמו.

[עריכה] היסטוריה

האיזכור הראשון לקבוע זה פורסם ב-1618 בטבלה בסוף עבודה על לוגריתמים מאת ג'ון נפייר. אולם, הטבלה לא כללה את המספר עצמו אלא רק רשימת לוגריתמים שחושבו על פי הקבוע. ההנחה הרווחת היא שהטבלה נכתבה על ידי ויליאם אוטרד. ההתיחסות הראשונה למספר בתור קבוע הייתה של יעקב ברנולי, כשניסה למצוא את הערך של הביטוי:

$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

השימוש הראשון לקבוע שסומן אז בתור b, הוא במכתב ששלח גוטפריד לייבניץ אל כריסטיאן הויגנס ב-1690. לאונרד אוילר סימן לראשונה את הקבוע כ-e ב-1727, והפרסום הראשון שעשה שימוש בסימון זה היה ספרו של אוילר "מכניקה" מ-1736. למרות שבשנים הראשונות חלק מן החוקרים השתמשו באות c, האות e הייתה נפוצה יותר ולבסוף הפכה לסטנדרד המדעי.

הסיבה לשימוש דווקא באות זו אינה ידועה, אבל סביר שזה בגלל היותה האות הראשונה במילה האנגלית אקספוננט. אפשרות נוספת היא שאוילר בחר אות זו היא, כי זוהי התנועה הראשונה אחרי האות a, שכבר הייתה בשימוש. לא ברור, על פי אפשרות זו, למה אוילר בחר דוקא תנועות ולא עיצורים. לא סביר שאוילר בחר אות זו כי היא הראשונה בשמו, שהרי ידוע שאוילר היה עניו גדול ותמיד השתדל לתת את הקרדיט הראוי לעבודתם של אחרים.

[עריכה] ביטויים אנליטיים ל-e

מקובלות שלוש דרכים להגדרתו של המספר e:

1. הגבול הבא, אשר מתקבל בתהליך הגזירה של פונקציית הלוגריתם:

$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + {1 \over n} \right) ^n$

2. סכום הטור האינסופי:

$e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots$

3. המספר $\,x$ המקיים:

$\int_{1}^{x} \frac{1}{t} \, dt = {1}$

כלומר המספר $\,x$ שמקיים שהשטח שמתחת להיפרבולה $\, f(t)=1/t$ מ-1 ועד $\,x$ שווה ל-1.

ניתן להוכיח כי כל ההגדרות הללו שקולות.

[עריכה] דרכים נוספות לחישוב e

סכום הטורים האינסופיים הבאים:

$e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \right ]^{-1}$

$e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{1-2k}{(2k)!} \right ]^{-1}$

$e = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{k!}$

$e = 2 \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{(2k+1)!}$

$e = \sum_{k=0}^\infty \frac{3-4k^2}{(2k+1)!}$

$e = \sum_{k=0}^\infty \frac{3k^2+1}{(3k)!}$

$e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!} \right ]^2$

$e = \frac{-12}{\pi^2} \left [ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \ \cos \left ( \frac{9}{k\pi+\sqrt{k^2\pi^2-9}} \right ) \right ]^{-1/3}$

$e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2(k!)}$

ההצגה של e כשבר משולב אינסופי:

$e= 2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\frac{3}{4+{\frac{4}{5+_\ddots}}}}}}$

הגבולות:

$e= \lim_{n \to \infty} n\cdot\left ( \frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \right )^{1/n}$

$e=\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$

[עריכה] תכונות

e הוא מספר אי רציונלי. יתרה מכך, הוא גם מספר טרנסצנדנטי, כלומר - e אינו שורש של פולינום עם מקדמים רציונליים.

לפונקציה המעריכית $\!\, e^x$ (אקספוננט) יש תכונה מיוחדת: הנגזרת שלה שווה לפונקציה עצמה. כלומר: $\!\, (e^x)'=e^x$ . תכונה זו ייחודית לפונקציית האקספוננט. את פונקציית האקספוננט נהוג לרשום גם כ- $\ \exp(x)$ ואז $\,\exp(1)=e$ . רישום זה נפוץ בספרים ישנים, שבהם היה קושי להציג נוסחאות מורכבות בגלל מגבלות ההדפסה.

הפונקציה ההפוכה לפונקציה זו היא פונקציית הלוגריתם הטבעי $\!\, \log_e x$ , המסומנת בקיצור כ- $\!\, \ln x$ .

הפונקציה $\ e^x$ גם משמשת ליצירת הפונקציות הטריגונומטריות (סינוס וקוסינוס) כאשר הארגומנט הוא דימיוני, באמצעות נוסחת אוילר:

$\ e^{i \theta} = \cos\theta + i \sin\theta$

מנוסחה זו נובע, בפרט, הקשר בין חמשת המספרים "החשובים" הידוע בשם זהות אוילר:

$\ e^{i\pi}+1=0$

[עריכה] שימושים

e מופיע בפתרונן של בעיות מתחומים שונים. להלן מספר דוגמאות:

דוגמה 1:
אם אדם מפקיד בבנק סכום של שקל אחד ומקבל ריבית של 100% המחושבת אחת לשנה, הוא יצבור סכום של שני שקלים בסוף השנה. נניח שהוא ישכנע את הבנק לחשב את הריבית מדי חצי שנה בריבית דריבית, כלומר ריבית של 50% בחצי הראשון של השנה וריבית של 50% בחצי השני של השנה (על הקרן ועל הריבית שנצברה), הרי שיהיו ברשותו בתום החצי הראשון של השנה 1.50 שקלים, ובתום החצי השני של השנה יהיו ברשותו 2.25 שקלים. אם חישוב הריבית יבוצע מדי רבע שנה, יסיים עם 2.44 שקלים. לאיזה סכום יגיע המפקיד אם חישוב הריבית יבוצע במרווחים הולכים וקטנים ככל האפשר ? התשובה ניתנת בנוסחה הבאה: $e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + {1 \over n} \right) ^n$ כלומר המפקיד יקבל e שקלים שהם בקירוב 2.7182 שקלים.

דוגמה 2:
בהגרלה מסוימת, ההסתברות של כל אחד מן הכרטיסים לזכות בִפרס היא $\,1/n$ . נקנו $\,n$ כרטיסים.

שאלות:

מה ההסתברות שאף אחד מבין $\,n$ הכרטיסים האלה לא יזכה?
למה שואפת ההסתברות, שאף אחד מבין הכרטיסים שנקנו לא יזכה, כאשר $\,n$ שואף לאינסוף?

תשובות:

ההסתברות שכרטיס נתון לא יזכה היא $1 - \frac{1}{n}$ , ולכן ההסתברות ש- $\,n$ הכרטיסים לא יזכו (בהנחה שאין תלות בין הסתברויות הזכיה של הכרטיסים השונים) היא $\left(1 - {1 \over n} \right) ^n$ .
כאשר $\,n$ שואף לאינסוף, הסתברות הזכייה של כל כרטיס הולכת וקטנה אך באותו הזמן מספר הכרטיסים שנקנו גדל. הגבול של ההסתברות שאף אחד מבין הכרטיסים שנקנו לא יזכה, כאשר $\,n$ שואף לאינסוף, הוא:

$\lim_{n \to \infty} \left(1 - {1 \over n} \right) ^n = \frac{1}{e}$ .

דוגמה 3 ("בעיית הדוור"):
דוור מבולבל מחלק באקראי n מכתבים ל- $\,n$ תיבות. מה ההסתברות שאף מכתב לא יגיע ליעדו?
תשובה: ניתן למצוא את ההסתברות באמצעות עקרון ההכלה וההפרדה. מקבלים כי ההסתברות שווה לסכום הטור:

${1 \over 0!} - {1 \over 1!} + {1 \over 2!} - {1 \over 3!} + \cdots + {1 \over (n-1)!} - {1 \over n!}$ .

טור זה הוא טור טיילור של הפונקציה $\ e^{-x}$ בנקודה 1 (או טור טיילור של הפונקציה $\ e^{x}$ בנקודה $\,-1$ ). על כן, כאשר $\,n$ שואף לאינסוף, שואף סכום הטור ל- $\frac{1}{e}$ .

דוגמה 4 (נוסחת סטירלינג):
נוסחת סטירלינג נותנת קירוב לפונקציית העצרת. המשפט אודות הפונקציה אומר כי עבור $\ n$ גדול, מתקיים $n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$ . את המשפט מוכיחים בעזרת פונקציית גמא (המאפשרת ליצור הכללה של פונקציית העצרת למספרים שאינם שלמים):

$\ \Gamma (n+1) = \int_{0}^{\infty}{ t^n e^{-t} dt}$

אשר עבור n טבעי מקיימת: $\ \Gamma (n+1) = n!$ .

דוגמה 5 ("התפלגות נורמלית"):
בתורת ההסתברות, פונקציית צפיפות ההסתברות של התפלגות נורמלית נתונה על ידי

$\ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}$

פונקציה זו נקראת "פעמון גאוס" או "גאוסיאן" על שם המתמטיקאי הנודע קארל פרידריך גאוס. פונקציה זו שימושית ביותר - הן לצרכי תאוריה והן לצרכים ניסיוניים, שכן לפי משפט הגבול המרכזי - הממוצע של מספר גורמים אקראיים, בלתי תלויים ובעלי אותה התפלגות, שואף לאחר נירמול מתאים להתפלגות נורמלית.

דוגמה 6 חוקי ניוטון:
נתבונן בחלקיק הנע בתחת כוח חיכוך המתכונתי למהירותו. החוק השני של ניוטון במקרה זה קובע:

$\ m\frac{ dv}{dt}=-\mu v$

כאשר $\ v$ מהירות החלקיק, $\ m$ המסה שלו ו- $\ \mu$ מקדם החיכוך. פתרון משוואה זו בהנחה שהמהירות ההתחלתית של החלקיק היא $\ v_0$ הינו:

$\ v(t)= v_0 e^{-\frac{\mu}{m} t}$ .

כלומר אופן דעיכת מהירות החלקיק בזמן נקבע על ידי המספר $\ e$ .

[עריכה] e בפולקלור

אף ש-e הוא מספר טרנסצנדנטי חשוב למדי, הוא כמעט ואינו מוכר יחסית למספר הטרנסצנדנטי π, המופיע רבות בפולקלור המתמטי. זריקת עידוד לפרסומו של e ניתנה על-ידי החברה שבבעלותה מנוע החיפוש גוגל, שבבקשתה הראשונה להנפקת ניירות ערך ציינה את סכום ההנפקה כ-$2,718,281,828, כלומר e מיליארד דולר. שימוש נוסף שגוגל עשו במספר הוא פרסום מודעה גדולה בלב עמק הסיליקון הקוראת לגלוש לאתר שכתובתו "עשר הספרות הרצופות הראשונות במספר e היוצרות יחדיו מספר ראשוני" (התשובה מגיעה רק בספרה ה-101: 7427466391). מי שפתר את החידה נשלח לפתור חידה קשה יותר, ורק אז הגיע לאתר של google labs שם הוזמן לשלוח קורות חיים בכדי לקבל אצלם עבודה.

דונלד קנות, מדען המחשב הנודע, ממספר את הגרסאות של תוכנת Metafont כך שיילכו ויתקרבו ל-e: גרסה 2, גרסה 2.7, גרסה 2.71, וכו'. הגרסה הנוכחית היא 2.71828.