Podstawa logarytmu naturalnego

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu stałe matematyczne.

Stałe

Lista stałych matematycznych
Pi
Podstawa logarytmu naturalnego
Stała Eulera
Złoty podział
Stała Feigenbauma
Stała de Bruijna-Newmana
Stała Meissela-Mertensa
Stałe Bruna
Stała Catalana
Stała Legendre'a
Stała Sierpińskiego

Podstawa logarytmu naturalnego (inaczej liczba Eulera lub liczba Nepera) w przybliżeniu wynosi:

e ≈ 2,

7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174...

Spis treści

1 Definicja
2 Właściwości
3 Inne wzory pozwalające obliczyć stałą e
4 Kultura e
5 Inne interpretacje liczby e
6 Zobacz też
7 Materiały zewnętrzne

[edytuj] Definicja

Liczbę e można zdefiniować na kilka równoważnych sposobów:

1. Jako granica ciągu.

$e = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

2. Jako suma szeregu

$e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots$

gdzie

n! jest silnią liczby n.

3. Jako jedyną liczbę rzeczywistą taką że:

$\int_{1}^{e} \frac{1}{t} \, dt = {1}$

(to znaczy, że liczba e to taka, że pole powierzchni pod hiperbolą

f (t) = 1 / t

od 1 do e jest równe 1).

Dowodzi się, że ciąg (1+1/n)ⁿ jest rosnący i ograniczony z góry, a zatem jest zbieżny. Wiadomo, że e jest liczbą niewymierną (co udowodnił Leonhard Euler), a nawet przestępną (co udowodnił Charles Hermite).

[edytuj] Właściwości

e jest podstawą takiej funkcji wykładniczej, że styczna do jej wykresu w punkcie (0, 1) ma współczynnik kierunkowy równy 1
e jest podstawą takiego logarytmu, że styczna do wykresu funkcji logarytmicznej o tej podstawie w punkcie (1,0) ma współczynnik kierunkowy równy 1.
pochodna funkcji $(e^x)'=e^x\;$
całka funkcji $\int e^x\,dx=e^x + C$ , gdzie C jest dowolną stałą całkowania.
z definicji wprost wynika, że funkcja wykładnicza o podstawie e jest odwrotną do logarytmu naturalnego:

$\ ln e^x=x$

$\ e^{\ln x}=x$
Z przedziału (0; 1) wylosujmy liczbę rzeczywistą (z rozkładem jednostajnym), następnie drugą, trzecią... Liczby te dodajemy (pierwsza+druga+trzecia+...) i przerywamy działanie, gdy suma przekroczy 1. Wartość oczekiwana liczby wylosowanych składników wynosi e.
Jest jednym z elementów tak zwanej najpiękniejszej równości, wiążącej e z innymi słynnymi liczbami: jednostką urojoną i, π, jednością i zerem:

$\ e^{i\pi}+1=0$

[edytuj] Inne wzory pozwalające obliczyć stałą e

[edytuj] Granice ciągów

$e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$

$e= \lim_{n \to \infty} n\cdot\left ( \frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \right )^{1/n}$

(oba to tzw. wzory Stirlinga)

$e = \lim_{n\to\infty} \frac{n!}{!n}$

$e = \lim_{n\to\infty} \left({\rm }\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} - \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}}\right)$

[edytuj] Szeregi nieskończone

$e= 2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\frac{3}{\ddots}}}}.$

$e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \right ]^{-1}$

$e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{1-2k}{(2k)!} \right ]^{-1}$

$e = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{k!}$

$e = 2 \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{(2k+1)!}$

$e = \sum_{k=0}^\infty \frac{3-4k^2}{(2k+1)!}$

$e = \sum_{k=0}^\infty \frac{(3k)^2+1}{(3k)!}$

$e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!} \right ]^2$

$e = \frac{-12}{\pi^2} \left [ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \ \cos \left ( \frac{9}{k\pi+\sqrt{k^2\pi^2-9}} \right ) \right ]^{-1/3}$

$e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2(k!)}$

[edytuj] Iloczyny nieskończone

$e=2\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdots$

$\frac{2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^2} \cdots}{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^3}\cdots }$

$e= 2 \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left ( \frac{2}{3}\; \frac{4}{3} \right )^{1/4} \left ( \frac{4}{5}\; \frac{6}{5}\; \frac{6}{7}\; \frac{8}{7} \right )^{1/8} \cdots$

[edytuj] Kultura e

W celu zapamiętania kolejnych cyfr dziesiętnych liczby e tworzone są wierszyki, a nawet opowiadania (podobnie jak o liczbie π), w których długość każdego kolejnego słowa równa się kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym e:

"We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant!"

Gdzie znak "!" oznacza cyfrę 0.

[edytuj] Inne interpretacje liczby e

Wkładamy do pewnego banku jedną złotówkę. Roczny depozyt wynosi 100% zysku. Odsetki mogą być doliczane od kwoty podstawowej w różnorodny sposób. Jeśli będą odliczane co rok, to na koniec roku będziemy mieli 2 złote. Jeśli będą dwa okresy kapitalizacji (czyli odsetki odliczane dwa razy w roku), to na koniec roku będziemy mieć $\left(1 + \frac {1}{2}\right)^2$ , czyli 2,25 złotego. W przypadku kapitalizacji co kwartał otrzymamy $\left(1 + \frac {1}{4}\right)^4$ , co w przybliżeniu wynosi 2,44 zł. Jeśli kapitalizacja odbywała się w sposób ciągły (czyli liczba okresów dąży do nieskończoności) to na koniec roku otrzymamy $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac {1}{n}\right)^n$ czyli e złotych.