פונקציית גמא

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

פונקציית גמא היא פונקציה שמרחיבה את המושג "עצרת" לשדה המספרים המרוכבים. הפונקציה הוגדרה לראשונה על-ידי לאונרד אוילר.

תוכן עניינים

1 הגדרה
2 תכונות
- 2.1 הקשר לפונקציית עצרת
- 2.2 זהויות אחרות
3 משפט בוהר-מולרופ

[עריכה] הגדרה

פונקציית גמא מוגדרת על ידי האינטגרל הבא:

$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$

וזאת לכל $\ z \in \mathbb{C}$ מרוכב.

[עריכה] תכונות

[עריכה] הקשר לפונקציית עצרת

גרף של פונקציית גמא במישור המרוכב.
באיור זה ניתן לקרות בבירור את הקטבים של הפונקציה שנהיים יותר ויותר דקים.

ניתן להראות שעבור מספרים טבעיים, פונקציית גמא שווה לפונקציית העצרת.

אם $\,n$ הוא חיובי ושלם, אזי $\Gamma(n) = \int_0^\infty t^{n-1}\,e^{-t}\,dt=(n-1)!$ , כי על ידי ביצוע אינטגרציה בחלקים, אפשר להראות כי $\,\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)$ , ומאחר ש- $\,\Gamma(1)=1$ נקבל כי $\,\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=\ldots=n!\Gamma(1)=n!\,$ לכל מספר טבעי $\,n$ .

[עריכה] זהויות אחרות

משוואה חשובה אחרת לפונקציית גמא היא נוסחת ההוספה

$\Gamma(1-z)\Gamma(z) = {\pi \over \sin \pi z}.$

לפעמים משתמשים בכתיבה חילופית, שנקראת "פונקציית פאי" התלויה בפונקציית גמא באופן הבא:

$\Pi(z) = \Gamma(z+1) = z\Gamma(z).\,\!$

כנראה, התוצאה הכי פופולרית של פונקציית הגמא של מספר לא שלם היא

$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}.$

לפונקציית גמא יש קוטב ב $\,z=-n$ לכל $\,n$ טבעי. בנקודה זאת נתון גם ש:

$\operatorname{Res}(\Gamma,-n)=\frac{(-1)^n}{n!}.$

המכפלה האינסופית הבאה, כפי שהראה ויירשטראס, נכונה לכל $\,z$ מרוכב, אשר אינו שלם אי-חיובי:

$\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}$

כאשר $\,\gamma$ הוא "קבוע אוילר".

[עריכה] משפט בוהר-מולרופ

משפט בוהר-מולרופ (Bohr–Mollerup theorem) הוא משפט המאפיין את פונקציית גמא. המשפט קרוי של-שמם של המתמטיקאים הדנים הארלד בוהר ויוהן מולרופ שהוכיחו אותו.

משפט: פונקציית גמא הממשית המוגדרת לכל $\,x>0$ על-ידי $\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\,dt$ היא הפונקציה היחידה $\,f$ בקרן $(0,\infty)$ המקיימת:

$\,f(1)=1$
$f(x+1)=xf(x)\ \mbox{for}\ x>0$
$\,f$ היא פונקציה לוג-קמורה

אחת ההוכחות לנוסחת סטירלינג משתמשת במשפט זה. במסגרת ההוכחה בונים פונקציה המקיימת את שלושת התנאים במשפט בוהר-מולרפ, ולכן פונקציה זו היא בהכרח פונקציית גמא.

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%A4/%D7%95/%D7%A0/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%99%D7%AA_%D7%92%D7%9E%D7%90.html

קטגוריה: פונקציות מתמטיות