E (상수)

위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.

위키백과의 기술적인 한계로 인하여 다른 제목을 씁니다. 이 문서의 올바른 제목은 e (상수)입니다.

상수 $e$ 는 자연로그의 밑이 되는 수이다. 이 수의 값은 대략

e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 .....

이다. 스위스 수학자 레온하르트 오일러의 이름을 따 오일러의 수, 로그 계산법을 도입한 스코틀랜드 수학자 존 네이피어의 이름을 따 네이피어 상수라고도 불리지만, 보통은 알파벳의 영어발음을 따서 "이"라고 많이 말한다. 숫자 2와의 분간을 위해 자연상수(자연로그의 밑이 되므로) 라고 부르기도 한다. (오일러 상수와는 다른 수이다)

"e"는 원주율 π, 허수단위 i 와 함께 가장 중요한 수학의 상수중 하나이다.

이 값은 지수함수 exp의 1에서의 함수값, 즉, exp(1)과 같고, 따라서, 다음과 같은 극한으로 표현된다.

$e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

또한, 다음과 같은 무한 급수로 나타낼 수도 있다.

$e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots$

위 식에서 $n!$ 은 $n$ 의 계승을 나타낸다.

이 수치 e 는 지수함수 exp(x)가 $e x$ 과 일치하기 때문에 매우 중요하다. 지수함수와 지수함수의 상수배는 자신의 도함수와 같은 유일한 함수이기 때문에 자연에서 발견되는 다양한 성장, 감소현상의 모델의 계산에 자주 쓰인다.

e 는 무리수이며, 나아가 초월수이다. e는 초월수의 존재를 증명하기 위해 특별히 고안된 수들을 빼 놓고 초월수 개념이 나오기 전에 알려져 있던 수들 중에 최초로 초월수임이 증명된 수이기도 하다. 1873년 샤를 에르미트(Charles Hermite)가 이를 증명해 냈다. e는 정규(normal number)라고 추측되고 있다.

e 는 다음의 오일러 공식에도 등장한다.

e i π + 1 = 0

e 를 연분수(continued fraction)로 표시하면, 다음과 같은 재미있는 패턴을 관찰할 수 있다.

$e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, \ldots].$

$e = 2 + \frac{1}{1+ \frac{1}{2+ \frac{2}{3+ \frac{3}{4+ \frac{4}{5+ \cdots}}}}}$

$\frac{e+1}{e-1} = 2 + \frac{1}{6 + \frac{1}{10 + \frac{1}{14+\cdots}}}$

이 상수를 다루는 최초의 참고서는 1618년 존 네이피어에 의해 로그에 대한 연구의 부록으로 간행되었다. 그러나 그것은 상수자체를 담고 있지는 않았고, 단순히 상수로부터 계산된 여러 로그값의 리스트였다. 그 테이블은 윌리엄 오트렌드가 만든 것으로 여겨진다. 처음으로 “e"가 상수라는 것은 야콥 베르누이가 아래 표현의 값을 찾기위해 노력하는 중 밝혀지게 되었다.

$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$