הסתברות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

הסתברות היא מושג מתמטי, שבאינטרפרטציה היישומית המקובלת שלו ובתנאי אי-ודאות, מכמת את הסבירות להתרחשות מאורע כלשהו. מדידת ההסתברות של מאורע מסוים נעשית בסקאלה שבין 0 ל-1. מאורע בלתי אפשרי הוא בעל הסתברות 0 ומאורע ודאי הוא בעל הסתברות 1. לעיתים נוח לבטא סקאלה זו באחוזים, בין 0% ל-100%.

חוסר הוודאות של מאורע, ולכן הצורך בחישוב או הערכה של ההסתברות שלו, עשויים לנבוע משני גורמים:

חוסר ודאות הנובע מהאקראיות שבטבע. דוגמה לכך היא התפרקות חומר רדיואקטיבי. אין אנו יכולים לדעת באיזה אטום ספציפי ובאיזה מועד מדוייק תתרחש ההתפרקות הבאה, אם כי ניתן לדעת זאת במונחים סטטיסטיים-הסתברותיים.

חוסר ודאות הנובע ממידע חלקי הנמצא בידינו. דוגמה לכך היא הטלת מטבע, שעשויה להסתיים באחת משתי תוצאות אפשריות, בלא שתהיה לנו דרך לחזות איזה תוצאה תצא בהטלה מסוימת, אם כי, בהינתן כל הנתונים הפיזיקליים הרלבנטיים - ניתן תיאורטית לחשב את התוצאה. דוגמה נוספת היא היא השאלה "האם בשבוע הבא תפרוץ מלחמה?", שעליה נדרש המודיעין לענות. אף שייתכן שהאויב יודע תשובה ברורה לשאלה זו, כפי שהיה המצב ערב מלחמת יום הכיפורים, המידע שבידי המודיעין הוא מידע חלקי, שלפיו יש לתת הערכה להסתברות של מאורע זה.

שאלה פתוחה היא האם כל הסתברות מהסוג הראשון היא למעשה הסתברות מהסוג השני, כלומר האם האקראיות שבהתפרקות אטומים רדיואקטיביים נובעת רק מחוסר ידיעה שלנו על כל הכוחות הפועלים, או שאקראיות היא חלק בלתי נפרד מהטבע, בפרט במסגרתה של מכניקת הקוונטים.

כאשר אנו מטילים מטבע, קל לומר באופן אינטואיטיבי שההסתברות שהוא ייפול על "עץ" היא 50%. בקביעה זו חסרה עדיין הגדרה פורמלית של המושג הסתברות. כאשר אנו מטילים מטבע 10 פעמים, נוכל לצפות שב-5 מקרים ייצא "עץ" וב-5 מקרים ייצא "פלי", אך ברור שאין כל ודאות בכך - ייתכן שבכל 10 ההטלות התוצאה תצא "עץ". מהי, אם כן, המשמעות של "הסתברות של 50%" בהקשר זה? התשובה של תורת ההסתברות לשאלה זו היא שההסתברות משקפת את השכיחות היחסית במספר גדל והולך של ניסיונות.

שאלות של הסתברות עולות בהקשרים שונים:

משחקי מזל
דוגמה: מה ההסתברות שניחוש יחיד (בלוטו, בטוטו וכד') יזכה בפרס הראשון. במיוחד מעסיקה שאלה זו את מארגן המשחק, שרוצה לתכנן את המשחק כך שירוויח בו.
מצבי סיכון
דוגמה: מה ההסתברות שאדם המבטח את חייו ימות במהלך השנה הקרובה. התשובה לשאלה זו קובעת את גובה הפרמיה שתדרוש חברת הביטוח.
מדעי הטבע
בפיזיקה, למשל, מבוססת התאוריה הקינטית של הגזים על הסתברות: אין לנו ידע דטרמיניסטי על התנהגותה של כל מולקולה, אלא תאור הסתברותי של התנהגות כל המולקולות. גם בחקר הרדיואקטיביות אין לנו ידיעה ודאית על גורלו של אטום מסוים, אך יש לנו ידיעה על ההסתברות להתפרקותו.

בניתוחן של שאלות העוסקות בהסתברות עוסקת תורת ההסתברות.

[עריכה] מידת הסתברות

בלשון הדיבור, מידת ההסתברות של מאורע היא הסיכוי שהמאורע יתרחש. באופן פורמלי, מרחב הסתברות הוא שלשה $\left( \Omega , \mathbb{F} , P \right)$ המורכבת מ:

$\ \Omega$ מרחב המדגם - קבוצה שאיבריה הם כל התוצאות האפשריות.
$\mathbb{F}$ שדה המאורעות - זוהי סיגמא-אלגברה של כל המאורעות המעניינים אותנו.
$\ P: \mathbb{F} \to [0,1]$ מידת הסתברות - זוהי פונקציה המתאימה לכל מאורע את ההסתברות שהוא יתרחש. פונקציה זו היא פונקציית מידה.

ניסוח מסודר של אקסיומות ההסתברות אפשר למצוא כאן.
דוגמה: אם המטבע שקול (אינו מזויף, כלומר עגול לחלוטין, בעל גובה אחיד בדיוק וצפיפות המסה שלו שווה בכל חלקיו), ומוטל באופן שאין דרך לדעת מראש אם תוצאת הטלתו תהיה "עץ" או "פלי", ההנחה המקובלת היא שקיימת הסתברות שווה לכל אחת משתי התוצאות האפשריות (התוצאה שהמטבע ייפול ויעמוד על קצהו אינה מובאת בחשבון). ניתן לנבא כי במספר גדול של הטלות, מחציתן (בקירוב) יקבלו את הערך "עץ" ומחציתן (בקירוב) - את הערך "פלי". ככל שיגדל מספר ההטלות, כן תשאף התפלגותן ליחס 50:50. במהלך המאה ה-17, ובמהלך השנים בכלל, נערכו ניסויים רבים ובהם בדקו את ההסתברות בהטלת מטבע. במהלך הניסויים הטילו מטבע מאות אלפי פעמים, ונוכחו לגלות שבכל פעם התפלגות התוצאות הייתה קרובה ליחס 50:50 ובדרך כלל, ככל שגדל מספר הניסויים - כן התקרבו התוצאות ליחס זה. בעקבות ניסויים אלה התפתחה תורת ההסתברות.

בהתאם להגדרה זו של הסתברות, כאשר למרחב המדגם עוצמה אינסופית, ייתכן מאורע אפשרי שהוא בעל הסתברות 0 (למשל: ההסתברות שבבחירה אקראית של מספר בקטע [0,1] של הממשיים יתקבל מספר רציונלי). באופן דומה ייתכן שלא יתרחש מאורע בעל הסתברות 1 (למשל: ההסתברות שבבחירה אקראית של מספר בקטע [0,1] של הממשיים יתקבל מספר אי רציונלי). כאשר מרחב המדגם סופי, הסתברות 0 פירושה מאורע בלתי אפשרי, והסתברות 1 פירושה מאורע ודאי.

מיזמי קרן ויקימדיה
ערך מילוני בוויקימילון: הסתברות
ספר לימוד בוויקיספר: הסתברות