Число e

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Число е — математична величина, що є основою натуральних логарифмів.

[ред.] Означення числа

Число Непера є границею послідовності:
$e=\lim_{n \to \infty}\left(1+{1 \over n}\right)^n \approx 2.718281828$
Використавши формулу біному Ньютона можна отримати числовий ряд, для обчислення числа:

$e$	$=\lim_{n \to \infty}\left(1+{1 \over n}\right)^n$
	$=\lim_{n \to \infty}\left( {n \choose 0} \cdot 1 + {n \choose 1} {1\over n} + {n \choose 2}{1 \over n^2} + {n \choose 3}{1 \over n^3} + \cdots \right)$
	$= \lim_{n \to \infty}\left(1+{1 \over 1!}{n \over n} + {1 \over 2!}{n(n-1) \over n^2} + {1 \over 3!}{n(n-1)(n-2) \over n^3} + \cdots \right)$
	$= \lim_{n \to \infty}\left(1+{1 \over 1!}\cdot 1 + {1 \over 2!} \left( 1 - {1 \over n} \right) + {1 \over 3!} \left( 1 - {1 \over n} \right) \left( 1 - {2 \over n} \right) + \cdots \right)$
	$= 1+{1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + \cdots$

[ред.] Особливості числа

Число е зустрічається мало не у кожній праці з математики і фізики. Причиною цього є її цікаві властивості.

Похідна експонційної функції рівна самій функції: $(e^x)^\prime=e^x$ ю
Це саме стосується і первісної: $\int e^x\, dx=e^x$ .
Надзвичайно важливою є формула Муавра: $e i x = sin(x) + i cos(x)$ .
З допомогою функції Гауса $e^{x^2}$ побудована математична статистика.
А завдяки цінній властивості $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{x^2}=\sqrt{\pi}$ цяж функція є основою обчислень у квантовій хімії.