מספר מרוכב

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה, מספר מרוכב הוא מספר מהצורה $\ a+ib$ כאשר $\,a$ ו- $\,b$ הם מספרים ממשיים, ו- $\ i$ הוא שורש של מינוס אחת: $\ i^2=-1$ .

מכיוון שהריבוע של כל מספר ממשי הוא חיובי, למינוס אחת (שהוא מספר שלילי) אין שורש בשדה המספרים הממשיים. המספרים המרוכבים מתקבלים על-ידי 'המצאת' מספר שאינו ממשי, $\ i$ , ושילובו במספרים הממשיים. מספרים מרוכבים, כדוגמת $\ 3+2i$ , מתקבלים באמצעות הפעולות האריתמטיות הרגילות בין המספרים הממשיים לבין המספר ה'חדש'.

מסתבר שלא כמו במספרים הממשיים, במספרים המרוכבים יש פתרון לכל פולינום (לא רק למשוואה $\ x^2=-1$ שעל מנת למצוא לה פתרון הגדרנו את $\ i$ מלכתחילה, אלא גם למשוואות כמו $\ x^6+x^2+1=0$ או אפילו $\ x^5+(2-i)x+7i=0$ . תכונה זו של שדה המספרים המרוכבים מנוסחת במשפט היסודי של האלגברה, והיא שהופכת אותם למרכזיים כל כך במתמטיקה המודרנית.

תוכן עניינים

1 הגדרה פורמלית של המספרים המרוכבים
2 אריתמטיקה של מספרים מרוכבים
3 הצגה קוטבית
4 שימושים
- 4.1 שימושים במתמטיקה
- 4.2 שימושים בפיזיקה והנדסה
5 ראו גם
6 קישורים חיצוניים

[עריכה] הגדרה פורמלית של המספרים המרוכבים

מספר מרוכב נכתב כך: $\ a+bi$ , והוא סכום של שני מספרים - מספר ממשי $\ a$ , ומספר מדומה. מספר מדומה הוא מספר מהצורה $\ bi$ , כאשר $\ b$ , הוא מספר ממשי, ואילו $\ i$ מקיים את התכונה הבאה: $\ i^2=-1$ .

מזהים כל מספר מרוכב $\ a+bi$ , עם הנקודה $\ (a,b)$ , במישור האוקלידי, ומגדירים פעולות חיבור וכפל מיוחדות על נקודות אלו. כתוצאה מכך מתקבל שדה אלגברי. לפרטים נוספים על הבנייה ראו שדה המספרים המרוכבים ולהסבר כללי על שיטת הרחבה זו ראו שדה הרחבה.

אם $\ z=a+bi$ , אז $\ a$ נקרא החלק הממשי של $\ z$ (ומסמנים $\ \operatorname{Re}(z)=a$ ), בעוד ש- $\ b$ נקרא החלק המדומה של $\ z$ (ומסמנים $\ \operatorname{Im}(z)=b$ ).

השימוש בשם 'מספר מדומה' מול 'מספר ממשי' עשוי לתת את התחושה שהמספרים הממשיים "מציאותיים" יותר מהמרוכבים. אין זה נכון, ובחירת השמות מקורה בסיבות היסטוריות ובחוסר האמון שניתן בתחילה במספרים המרוכבים (בתקופות שונות סבלו המספרים השליליים, ואחריהם המספרים הממשיים שאינם רציונליים, מאותו חוסר אמון).

[עריכה] אריתמטיקה של מספרים מרוכבים

המספרים המרוכבים מקיימים

$\ (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

$\ (a+bi)\cdot(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$ .

כמו כן נהוג להגדיר:

ערך מוחלט: $\ |z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$ - הערך המוחלט מציין את "גודלו" של המספר המרוכב (מרחקו מן הראשית, כאשר מסתכלים על המספר כעל נקודה במישור המרוכב).
צמוד מרוכב: $\ z^* = \bar{z} = (a+bi)^* = a - bi$

ואז מתקיים: $\ |z|^2 = z\cdot\bar{z}$ .

[עריכה] הצגה קוטבית

מספר מרוכב ניתן להציג גם באמצעות המרחק שלו מהראשית והזווית שהוא יוצר עם ציר ה-X. הצגה זו נקראת הצגה קוטבית (פולארית). על ידי שימוש בטריגונומטריה, ובסימון $\ r = |z|$ מקבלים $\ z = r(\cos\theta + i \sin\theta)$ . באמצעות נוסחת אוילר ניתן לכתוב זאת גם כ- $\ z = r e^{i\theta}$ כאשר $\ e$ הוא בסיס הלוגריתם הטבעי , על כל התכונות האלגבריות המשתמעות מכך. צורת הצגה זו שימושית ביותר.

[עריכה] שימושים

יש בעיות רבות במתמטיקה ובפיזיקה שקל לפתור בעזרת מספרים מרוכבים, גם כאשר אין למספרים אלו זכר בניסוח או בתוצאה הסופית של הבעיה.

[עריכה] שימושים במתמטיקה

באמצעות משפט השארית אפשר לחשב אינטגרלים ממשיים, בייחוד אינטגרלים מוכללים (המכונים גם לא-אמיתיים או לא-נאותים) על כל הישר הממשי: מאפס (או מינוס אינסוף) עד אינסוף.

כמו כן, באמצעות ההצגה הפולרית ניתן לפתור גם משוואות דיפרנציאליות, למשל אוסצילטור הרמוני.

פונקציית זטא של רימן, שהיא פונקציה מרוכבת, קשורה באופן מפתיע קשר להתפלגות של מספרים ראשוניים (ראו גם השערת רימן).

[עריכה] שימושים בפיזיקה והנדסה

במכניקת הקוונטים, בסיס המצבים של כל מערכת שוכן במרחב הילברט מעל המרוכבים. לכל פונקציית גל יש פאזה מרוכבת שלא משפיעה על גודל האמפליטודה אלא רק על ה"כיוון" שלה ומאפשרת לה לבצע התאבכות עם פונקציות גל אחרות.

מספרים מרוכבים שימושיים במיוחד לפתרון בעיות בחשמל. בתחום זה מסמנים את החלק המרוכב באות $\ j$ במקום באות $\ i$ , המשמשת לציון זרם.