לוגריתם טבעי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

לוגריתם טבעי הוא לוגריתם שבסיסו הוא הקבוע המתמטי e, שהוא מספר טרנסצנדנטי המתחיל בספרות 2.718281828.

הלוגריתם הטבעי מוגדר לכל מספר ממשי חיובי, וניתן להגדירו גם למספרים מרוכבים שאינם 0.

פונקציית הלוגריתם הטבעי

הלוגריתם הטבעי מסומן בצורה (ln(x, אך בטקסטים מתמטיים גם הסימון log פירושו פעמים רבות log_e.

הלוגריתם לפי בסיס e קרוי "טבעי" משתי סיבות:

קל להגדירו כאינטגרל פשוט או כטור טיילור עם מקדמים רציונליים - מאפיין שנדיר בלוגריתמים לפי בסיס אחר.
פונקציית האקספוננט הטבעי- $\ e^x$ מופיעה בתחומים שונים המתמטיקה הרבה יותר מהפונקציה $\ 10^x$ , ובהתאם גם הפונקציה ההפוכה שהיא הלוגריתם הטבעי, יותר נפוצה מהלוגריתם עם בסיס עשר.

נדגים זאת באמצעות הנגזרת הבאה:

$\frac{d}{dx}\log_b(x)=\frac{{\rm C}}{x}$

רק כאשר בסיס הלוגריתם הוא e, יהיה הקבוע C בנגזרת זו שווה ל־1.

[עריכה] הגדרת הלוגריתם הטבעי

פורמלית ניתן להגדיר את הלוגריתם הטבעי כאינטגרל הבא:

$\ln(a)=\int_1^a \frac{1}{x}\,dx$ .

הנגזרת של הלוגריתם הטבעי ניתנת על-ידי:

$\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}$

מכאן נגיע לטור טיילור הבא:

$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n\quad{\rm for}\quad \left|x\right|<1$

את הלוגריתם ניתן להגדיר גם עבור מספרים מרוכבים, בצורה שתכליל את הגדרתו עבור מספרים ממשיים. אם מספר מרוכב נתון על ידי $\ z=re^{i\phi}$ כאשר $\ r$ הוא הערך המוחלט של המספר ו- $\ \phi$ הארגומנט שלו, $\ -\pi<\phi\le\pi$ , אז הלוגריתם שלו נתון על ידי $\ \log(z)=\ln(r)+i(\phi +2\pi k)$ כאשר $\ k\isin \mathbb{Z}$ .בהגדרה זו, הלוגריתם הוא פונקציה רב ערכית. כאשר רוצים להתייחס ללוגריתם המרוכב כפונקציה חד ערכית, מצמצמים את התמונה שלו לערכים עם חלב מרוכב שחסום הין שני קבועים. בצורה הזו מקבלים את פונקציה חד ערכית: $\ \log(z)=\ln(r)+i\phi$ כאשר $\phi \in [a , a+2\pi ]$ . בדרך כלל קובעים את a להיות 0, ואז פונקציית הלוגריתם לא רציפה על המספרים הממשיים החיוביים ( כלומר החלק המרוכב שלה "קופץ" מ- $2π$ ל-0).

[עריכה] שימושים

משפט המספרים הראשוניים קובע כי מספר המספרים הראשוניים הקטנים ממספר נתון $x$ שווה בקירוב ל- $\frac{x}{\ln(x)}$ .

גם לסכום של סדרה הרמונית יש קשר ל-e: $\lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n \frac {1}{k} - \ln(n) \right)= \gamma$ כאשר גמא הוא קבוע אוילר-מסקרוני שהוא בערך 0.57721566490153286.