E (zenbakia)

Wikipedia(e)tik

e konstante matematikoa logaritmo naturalaren oinarria da. Bere lehenengo 29 dezimalen balioa hau da:

e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 7135...

π eta zenbaki imaginarioa (i) ostean e da matematiketan zenbakirik garrantzitsuenetariko bat. Definizio ugari ditu eta hauek dira horietako batzuk:

Batzuetan e daitzeko Eulerren Zenbakia erabiltzen da, Leonhard Eulerren omenez. Beste batzuetan Napierren konstantea John Napier logaritmoen garatzailearen omenez.

[aldatu] Definizioak

eren hiru definiziorik garrantzitsuenak hauek dira:

e limite moduan definitzen da:

$e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$

e serie infinito baten batukari gisa definitzen da:

$e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots$

non n! nren faktoriala den.

e zenbaki erreal baten moduan definitzen da x > 0 denean:

$\int_{1}^{x} \frac{1}{t} \, dt = {1}$

(edo, x zenbaki bat non

f (x) = 1 / x

hiperbola 1etik xera berdin 1 dena)

Hiru definizio hauen emaitzak berdinak direla frogatu da.

[aldatu] Propietateak

e^x funtzio exponentziala oso garrantzitusa da funtzio bakarra delako bere buruaren deribatua dena, eta beraz bere integrala da ere.

$\frac{d}{dx}e^x=e^x$ eta

$\int e^x\,dx=e^x + C$ , non C integratzeko konstante arbitratio bat den.

e aldi berean zenbaki irrazional eta zenbaki transzendetea da. Bereziki azkeneko honetan e izan zen bere transzendentzia frogatuta geratu zen lehen zenbaki naturala. e Eulerren formularen barruan agertzen da, matematiketako formularik garrantzitsuenetariko bat:

$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x).\,\!$

Aurreko honetan x = π denean, Eulerren indetitatea izango dugu:

$e^{i\pi}+1 =0 ,\,\!$

Formula honek matematiketan dauden bost zenbakirik garrantzitsuenak batzen ditu aldi berean: (0, 1, π, i eta e)

Hurrengo hau eren expantsiorako serie infinito bat da:

$e = [1; 0, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, \ldots,1, 2n, 1,\ldots] \,$

Hurrengo hau eren expantsiorako serie infinitu kontinuo bat da:

$e= 2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\frac{3}{\ddots}}}}.$

e zenbaki aldi berean hurrengo serie infinituen batukaria da:

$e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \right ]^{-1}$

$e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{1-2k}{(2k)!} \right ]^{-1}$

$e = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{k!}$

$e = 2 \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{(2k+1)!}$

$e = \sum_{k=0}^\infty \frac{3-4k^2}{(2k+1)!}$

$e = \sum_{k=0}^\infty \frac{3k^2+1}{(3k)!}$

$e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{4k+3}{2^{(2k+1)}(2k+1)!} \right ]^2$

$e = \frac{-12}{\pi^2} \left [ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \ \cos \left ( \frac{9}{k\pi+\sqrt{k^2\pi^2-9}} \right ) \right ]^{-1/3}$

e produktu infinitu gisa ematen da Pippengerren produktuen forman:

$e= 2 \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left ( \frac{2}{3}\; \frac{4}{3} \right )^{1/4} \left ( \frac{4}{5}\; \frac{6}{5}\; \frac{6}{7}\; \frac{8}{7} \right )^{1/8} \cdots$

eta era berean...

$\frac{2\ 2^{(\ln(2)-1)^2} \cdots}{2^{(\ln(2)-1)}\ 2^{(\ln(2)-1)^3}\cdots }$

e sekuentzia infinitu askoren emaitza da:

$e= \lim_{n \to \infty} n^{-1}\left ( \frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \right )^{1/n}$ eta

$e= \lim_{n \to \infty} \frac{(n!)^{(1/n)}}{n}$ (Stirlingen formula).

eren aproximazio bat urrezko zenbakia eta π erabiliz aldi berean honako hau da:

$e \sim \left (\frac{\pi}{5} \phi \right )^{(\frac{600}{\pi^2})}.$

[aldatu] Historia

e konstantearen lehenengo erreferentziak 1618. urtean agertu ziren John Napierren apendize baten taulan. Hala ere berak ez zuen konstantea bera publikatu, baizik eta logaritmo naturalen kalkulu bat konstantetik kalkulatuta. e konstante moduan agertzen den lehenengo aldia Jacob Bernoullik egin zuen, hurrengo ekuazioa ebazten:

$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

Konsantearen lehengo erabilera ezaguna, b letrarekin eginda, The first known use of the constant, represented by the letter b, Gottfried Leibniz eta Christiaan Huygensek egin zuten 1690 eta 1691. urteetan hurrenez hurren. Leonhard Euler izan zen lehenengoa e letra erabiltzen 1727an eta bere Mechanica lanean agertu zen lehen aldiz publikatuta. Hala ere urte haietan c hizkia ere erabili zen. e erabiltzearen arrazoia exponente hitzaren lehenengo hizkia dela izan liteke.

"http://eu.wikipedia.org../../../e/_/%28/E_%28zenbakia%29.html"(e)tik eskuratuta

Kategoriak: Matematika | Konstanteak | Zenbaki irrazionalak | Zenbaki transzendenteak