Nombre e

De Viquipèdia

Sistema de nombres en matemàtiques.
Nombres Elementals
Naturals $\mathbb{N}$ {0,1,2,3...} Enters $\mathbb{Z}$ {...-2,-1,0,+1,+2,...} Racionals $\mathbb{Q}$ {...-1/2..0..1/2..1...} Reals $\mathbb{R}$ {Q U I U Tr} Complexos $\mathbb{C}$ Primers $\mathbb{P}$ {2,3,5,7,11...} Abundants Amics Compostos Defectiu Perfectes Sociables Parells {...-2,0,+2,..} Senars {...-3,-1,+1,+3...} Irracionals $\mathbb{I}$ Algebraics Trascendents $Tr$ Nombre π (π) ≈ 3.1415926535... Nombre e ≈ 2.7182818284... Unitat imaginària $i = \sqrt{-1}$ Infinit ∞ Nombres infinits Nombres transfinits
Extensions dels nombres complexos
Bicomplexos Hipercomplexos Quaternions $\mathbb{H}$ Octonions $\mathbb{O}$ Setenions Super-reals Hiper-reals Sub-reals
Nombres Especials
Nominals Ordinals {1^o,2^o,...} (d'ordre) Cardinals { $\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3,$ ...}
Altres nombres importants
Seqüència d'enters Constants matemàtiques Llistat de nombres Nombres grans
Sistemes de numeració
Àrab Armeni Àtica (grega) Babilònica Xinesa Ciríl·lica Egípcia Etrusca Grega Hebrea Índia Jònica (grega) Japonesa Jémer Maia Romana Tailandesa Numerals en base constant: Binari (2) Quinari (5) Octal (8) Decimal (10) Duodecimal (12) Hexadecimal (16) Vigesimal (20) Sexagesimal (60)

La constant matemàtica e (anomenada a vegades constant d'Euler, en honor del matemàtic suís Leonhard Euler o constant de Napier, en honor del matemàtic escocès John Napier que va introduir els logaritmes) és la base dels logaritmes naturals.

El nombre e és igual a exp(1), on exp és la funció exponencial. Correspon al límit matemàtic

$e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

Aquest límit existeix, ja que la successió $n\mapsto \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ és creixent i limitada damunt. Això dona aproximadament e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 ...

El nombre e es pot definir també mitjançant la sèrie infinita

$e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots$

on n! és el factorial de n. Aquesta sèrie convergeix puix que hom ha

$1 + 1 + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots \le 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots = 3,$

és a dir, el desenvolupament en sèrie de e és majorat mitjançant una sèrie geomètrica convergent, en tant que de raó 1/2.

Finalment, és pot considerar e com a l'única solució positiva x de l'equació integral

$\int_{1}^{x} \frac{1}{t} \, dt = {1}.$

Es pot provar que aquestes definicions són equivalents.

La funció exponencial [exp(x)] és important ja que és l'única (a menys de multiplicació per a constants) funció que és igual a la seva derivada, i s'usa habitualment per a modelitzar processos de creixement o decreixement.

La fracció contínua de e conté una estructura interessant, com es mostra a continuació:

$e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12...] \,$