נגזרת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

ערך זה עוסק בנגזרת מתמטית. לערך העוסק בנגזרת כימית, ראו נגזרת (כימיה).

משיק לפונקציה (הנגזרת בנקודת ההשקה היא שיפוע המשיק)

במתמטיקה, נגזרת של פונקציה בנקודה מסוימת שווה לשיפוע של המשיק לגרף הפונקציה באותה נקודה. הנגזרת משקפת את קצב ההשתנות של הפונקציה.

[עריכה] חישוב הנגזרת

ערכה של נגזרת לפונקציה כלשהי, המתאימה לכל $\!\, x$ בתחום הפונקציה ערך שיסומן $\!\, f(x)$ , עבור ערך $\!\, x_1$ מסוים של הפונקציה, ניתן לחישוב בצורה הבאה:

קביעת ערך הגדול בסכום קטן-עד-אינסוף (המסומן ב- $\!\, h$ ) מ- $\!\, x_1$ (שגם עבורו מוגדרת הפונקציה), וסימון הנקודה $\!\, \left(x_1+h,f(x_1+h)\right)$ שעל הפונקציה.
עבור הנקודה $\!\, \left(x_1,f(x_1)\right)$ שעל הפונקציה, שיפוע המשיק לפונקציה באותה נקודה שואף לשיפוע הישר העובר בשתי הנקודות הנ"ל. שיפוע זה ניתן לחישוב על ידי הנוסחה:

$\frac{f(x_1 + h) - f(x_1)}{x_1 + h - x_1}$

לפיכך נגדיר:

הגדרה: תהי $\!\, f(x)$ פונקציה ממשית במשתנה אחד. הנגזרת בנקודה x מסומנת ב- $\!\, f'(x)$ וערכה מחושב לכל $\!\, x$ לפי הגבול הבא, כאשר הוא קיים וסופי:

$f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

אם לפונקציה קיימת נגזרת בנקודה מסוימת, אומרים שהיא גזירה באותה נקודה. אם פונקציה גזירה בכל הנקודות בקטע מסוים, אומרים שהיא גזירה בקטע.

אם פונקציה גזירה בנקודה מסוימת, היא רציפה בנקודה זו. ההפך אינו נכון - פונקציה יכולה להיות רציפה בנקודה אך לא גזירה בה. למשל, הפונקציה $f(x)=\left|x\right|$ רציפה בנקודה $\!\, x=0$ אך לא גזירה בה. פונקציית ויירשטראס היא פונקציה שרציפה בכל נקודה, אך לא גזירה באף נקודה.

הפונקציה הנגזרת של פונקציה גזירה $\!\, f(x)$ היא פונקציה המתאימה לכל x את הנגזרת של f בנקודה. בלשון תחשיב למבדא:

$f^\prime = \lambda x \ : \ f^\prime (x)$

בהרבה ספרים לא טורחים לעשות הבחנה בין השניים ומשתמשים באותו שם וסימון לשני המושגים.

בפיזיקה, המהירות שווה לנגזרת של הפונקציה המציגה את המעתק (מרחק) על-פי הזמן, והתאוצה שווה לנגזרת השנייה של פונקציה זו (או לנגזרת של המהירות).

[עריכה] נוסחאות גזירה בסיסיות

נגזרת של פונקציה קבועה היא אפס.
נגזרת של סכום של פונקציות שווה לסכום הנגזרות של כל אחת מהפונקציות.
הנגזרת היא אופרטור לינארי: $\ \forall \alpha , \beta \in \mathbb{R} \ : \ ( \alpha f + \beta g )^\prime = \alpha f^\prime + \beta g^\prime$
נגזרת של פולינום: אם $\!\, f(x) = x^r$ (כאשר $\!\, r$ הוא מספר ממשי כלשהו) אז $\!\, f'(x) = rx^{r-1}$ .
כלל לייבניץ - נגזרת של מכפלה של פונקציות: $\left(fg\right)'=f'g+fg'$ לכל שתי פונקציות $\!\, f$ ו- $\!\, g$ .
נגזרת של מנת שתי פונקציות: $\left(\frac{f}{g}\right)'=\left(\frac{f'g-fg'}{g^2}\right)$ כאשר $g \ne 0$
כלל השרשרת: אם $h(x)=f\left(g(x)\right)$ אז $h'(x)=f'\left[g(x)\right] g'(x)$
נגזרת הפונקציה ההפוכה: אם $\ g(x)=f^{-1}(x)$ הרי ש- $h(x)=f\left(g(x)\right)=x$ ומכיוון ש- $\, h'(x)=1$ , הרי שאם נשתמש בכלל השרשרת נקבל כי $\ g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}$ (בהנחה ש- $\ f'(g(x))\ne 0$ )
נגזרת של פונקציה מעריכית: $\left(a^x \right)'=\left( \ln a \right) a^x , (e^x)'=e^x$
נגזרת של פונקציה לוגריתמית: $(\log _a x)'=\frac {1}{x \ln a} , (\ln x)'=\frac {1} {x}$
נגזרת של פונקציות טריגונומטריות (להוכחה דרוש הגבול של sin(x)/x): $(\sin x)'=\cos x,(\cos x)'=-\sin x, (\tan x)'=\frac{1}{\cos ^2 x}, (\cot x)'=-\frac{1}{\sin ^2 x}$
נגזרת של פונקציות טריגונומטריות הפוכות: $(\sin^{-1}x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},(\cos^{-1}x)'=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}},(\tan^{-1}x)'=\frac{1}{1+x^2}$

[עריכה] משפטים העוסקים בנגזרות

משפט פרמה: אם פונקציה גזירה בנקודה מסוימת, ובאותה הנקודה יש לה נקודת קיצון (מקסימום מקומי או מינימום מקומי), הנגזרת שווה לאפס באותה נקודה.
משפט רול - אם פונקציה גזירה בקטע פתוח, רציפה בקצותיו וערכיה בקצותיו שווים, הנגזרת שלה מתאפסת בתוך הקטע.
משפט לגראנז' - הכללה של משפט רול: אם פונקציה גזירה בקטע פתוח ורציפה בקצותיו, יש נקודה בתוך הקטע שהנגזרת בה שווה לשיפוע המיתר המחבר את שתי נקודות הקצה של הפונקציה.
משפט הערך הממוצע של קושי - הכללה של משפט לגראנז'.
משפט דארבו - אם פונקציה גזירה בקטע סגור, הנגזרת שלה מקבלת כל ערך בין הערכים שהיא מקבלת בקצוות הקטע.
כלל לופיטל - כלל יעיל לחישוב גבול של מנה של שתי פונקציות השואפות שתיהן לאפס או אינסוף, על ידי חישוב גבול המנה של הנגזרות שלהן.
חוק הזוגיות - נגזרתה של פונקציה זוגית תמיד תהיה פונקציה אי זוגית.

[עריכה] נקודה שבה הנגזרת מתאפסת

כאמור, לפי משפט פרמה אם פונקציה גזירה בנקודה מסוימת, ובאותה הנקודה יש לה נקודת קיצון (מקסימום מקומי או מינימום מקומי), הנגזרת שווה לאפס באותה נקודה. ההפך לא תמיד נכון - נגזרת יכולה להיות שווה לאפס גם בנקודה שאינה מקסימום או מינימום, אלא נקודת פיתול או אחרת. דוגמאות:

- לפונקציה $\,y=(x-1)^2$ יש מינימום בנקודה $\,x=1$ , שבה הנגזרת שווה ל-0.
- לפונקציה $\,y=-x^2$ יש מקסימום בנקודה $\,x=0$ , שבה הנגזרת שווה ל-0.
- לפונקציה $\,y=\tan x$ יש נקודת פיתול בנקודה $\,x=0$ , שבה הנגזרת שווה ל-0.
- לפונקציה $\!\, y=x^2\sin(1/x)$ יש נגזרת השווה ל-0 בנקודה $\,x=0$ אך זו אינה נקודת קיצון ואף לא נקודת פיתול. נרחיב בעניין זה:

נגדיר את הפונקציה:

$f(x) = \left\{\begin{matrix} x^2\sin(\frac{1}{x}) & \mbox{if } x\ne0 \\ 0 & \mbox{if } x =0 \end{matrix}\right.$

פונקציה זו רציפה באפס (מכפלה של פונקציה חסומה בפונקציה השואפת לאפס), היא גם גזירה באפס:

$f'(0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2\sin(\frac{1}{h}) - 0}{h} =0$

אולם אפס אינה נקודת קיצון: נגדיר $x_n=\frac{1}{2\pi n+\pi/2}$ , $y_n=\frac{1}{2\pi n+3\pi/2}$ , אזי $\, f(x_n)>0$ $\, f(y_n)<0$ . מכאן שבכל סביבה של אפס יש אינסוף נקודות בהן הפונקציה חיובית, ואינסוף נקודות בהן הפונקציה שלילית, ולכן אפס אינה יכולה להיות נקודת קיצון. אפס גם אינה נקודת פיתול, שכן נקודת פיתול היא נקודה שבה המשיק לגרף הפונקציה נמצא מצד אחד מעל הפונקציה, ובצד השני מתחת לפונקציה. במקרה זה המשיק הוא $\, y=0$ (ציר $\, x$ ), ואותו טיעון כמו קודם מראה שאין חצי סביבה של אפס שבה הפונקציה כולה מתחת או מעל לציר ה- $\, x$ . כלומר, למרות שהנגזרת היא אפס, הנקודה אינה נקודת קיצון, ואינה נקודת פיתול. הערות נוספות על הפונקציה:

אם נגזור אותה, נקבל כי הנגזרת היא:

$f'(x) = \left\{\begin{matrix} 2x\sin(\frac{1}{x})-\cos(\frac{1}{x}) & \mbox{if } x\ne0 \\ 0 & \mbox{if } x =0 \end{matrix}\right.$

כלומר הנגזרת אינה רציפה באפס (זוהי אי-רציפות מן הסוג השני, כפי שמבטיח משפט דארבו).

דוגמה מעניינת נוספת היא הפונקציה:

$g(x)=f(x)+x^2 = \left\{\begin{matrix} x^2(\sin(\frac{1}{x})+1) & \mbox{if } x\ne0 \\ 0 & \mbox{if } x =0 \end{matrix}\right.$

זוהי פונקציה רציפה וגזירה. לפונקציה זו יש מינימום מקומי באפס, אבל בניגוד לאינטואיציה אין חצי סביבה שמאלית של אפס שבה הפונקציה מונוטונית יורדת, ואין חצי סביבה ימנית של אפס שבה הפונקציה מונוטונית עולה.

[עריכה] נגזרות חד-צדדיות

ניתן להגדיר גם נגזרת מימין $\, f'_+(x)$ , ונגזרת משמאל $\, f'_-(x)$ . הנגזרות החד-צדדיות מוגדרות על-ידי הגבולות:

$f'_+(x)= \lim_{h \downarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

$f'_-(x)= \lim_{h \uparrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

כלומר חישוב הגבול נעשה רק בסביבה ימנית או בסביבה שמאלית של הנקודה.

הערות:

לפונקציית הערך המוחלט $\, f(x)=|x|$ אין נגזרת ב- $\,x=0$ אולם שתי הנגזרות החד-צדדיות קיימות: $\, f'_+(0)=1,\quad f'_-(0)=-1$
פונקציה היא גזירה בנקודה אם ורק אם קיימות באותה נקודה שתי הנגזרות החד-צדדיות, והן שוות.
לפונקציה קמורה המוגדרת בקטע פתוח יש נגזרות חד-צדדיות בכל נקודה בקטע.

[עריכה] נגזרות בפונקציות של כמה משתנים

בפונקציות של כמה משתנים, מושג הגזירות של פונקציה מוחלף במושג הדיפרנציאביליות שלה, שפירושו שקיים לפונקציה קירוב לינארי. מושג זה מתלכד עם מושג הגזירות בפונקציות של משתנה יחיד. בנוסף לכך, כאשר גוזרים פונקציה של כמה משתנים על פי משתנה יחיד, ומתייחסים לשאר המשתנים כקבועים, הנגזרת המתקבלת נקראת נגזרת חלקית של הפונקציה. מושגי הדיפרנציאביליות והנגזרות החלקיות קשורים ביניהם בקשר הדוק - נגזרת חלקית של פונקציה לפי אחד המשתנים יכולה להית קיימת או לא (כמו שפונקציה של משתנה אחד יכולה להיות גזירה או לא) אבל מושג הדיפרנציאביליות של פונקציה עם יותר ממשתנה אחד הוא מושג חזק יותר מקיום של נגזרות חלקיות. כלומר: אפילו אם לפונקציה עם כמה משתנים קיימות כל הנגזרות החלקיות שלה אין זה אומר בהכרח שהיא דיפרנציאביליות, אבל אם היא דיפרנציאביליות אז בהכרח קיימות כל הנגזרות החלקיות שלה.

[עריכה] נגזרות במספרים מרוכבים

בהינתן פונקציה מרוכבת $\ f(z)$ , ניתן להגדיר עבורה נגזרת בנקודה $\ z_0$ בדיוק כפי שמגדירים נגזרת לפונקציה ממשית, באמצעות הגבול $\ \lim_{\Delta z\rarr 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$ , אולם למרות ההגדרה הדומה, מושג הנגזרת הזה שונה ממושג הנגזרת עבור פונקציה ממשית.

אין לנגזרת מרוכבת את המשמעות הגאומטרית שיש לנגזרת ממשית, וגזירות של פונקציה מרוכבת היא תכונה חזקה יותר מגזירות של פונקציה ממשית. תנאי הכרחי ומספיק לגזירות של פונקציה מרוכבת מנוסח במשוואות קושי-רימן.

[עריכה] נגזרת פורמלית

ניתן לנצל את תכונות הנגזרת גם במבנים אלגבריים כללים, בהם לא ניתן לגזור פונקציות באופן הרגיל (על ידי גבולות). לדוגמה, בשדות כלשהם, אפילו ממאפיין שונה מ-0, ניתן להגדיר את פעולת הנגזרת על הפולינומים כאופרטור לינארי שמקיימת לכל n טבעי $\ ( x^n ) ' = n x^{n-1}$ . ניתן להראות שהנגזרת הפורמלית כמו שהוגדרה מקיימת את התכונות הבסיסיות של הנגזרת הרגילה (לינאריות, כלל המכפלה, וכלל השרשרת), ובנוסף מאפשרת בחינה נוחה של תכונות מסוימות של פולינומים. לדוגמה, כדי לבדוק האם פולינום נתון הוא ספרבילי, די לבדוק שהוא זר לנגזרת הפורמלית שלו.

[עריכה] סימונים שונים לנגזרת

להלן סימונים מקובלים נוספים, המשמשים לסימון נגזרות. אלו הם הסימונים של לייבניץ ובאופן אינטואיטיבי הם מייצגים את הנגזרת כמנה של דיפרנציאלים השואפים לאפס. סימונים אלה שימושים בפיזיקה, אנליזה וקטורית ופתרון משוואות דיפרנציאליות.

נגזרת מלאה לפי t :

$\ f'(t) = \frac{df(t)}{dt}$

$\ f''(t) = \frac{d^2 f(t)}{dt^2}$

$\ f^{(n)}(t) = \frac{d^n f(t)}{dt^n}$

נגזרות חלקיות (לפי x או y):

$\ f_x(x,y) = \left( \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \right) _{y} = \partial _x f(x,y)$

$\ f_{xy}(x,y) = \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x \partial y}$

לפעמים נהוג לקצר את הסימון המסורבל הזה למה שרשום מימין ולסמן נגזרת חלקית כאופרטור ( $\ \partial_x$ ) הפועל על הפונקציה, דבר שמביא תועלת בביצוע חישובים בנוסף לקיצור הכתיבה.

[עריכה] קישורים חיצוניים

מחשב נגזרות

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד:	חשבון אינפיניטיסימלי \| סדרה \| גבול \| סדרת קושי \| טור \| אינפיניטסימל \| שדה המספרים הממשיים \| ערך מוחלט \| אי-שוויון המשולש \| אי-שוויון קושי-שוורץ
פונקציות:	פונקציה \| גרף פונקציה \| פונקציה לינארית \| פונקציה מונוטונית \| נקודת קיצון \| פונקציה קעורה \| פונקציה קמורה \| פונקציה רציפה \| רציפות במידה שווה \| נקודת אי רציפות \| נגזרת \| טור טיילור \| סדרת פונקציות \| התכנסות במידה שווה
משפטים:	משפט בולצאנו-ויירשטראס \| משפטי ויירשטראס \| משפט קנטור \| משפט ערך הביניים \|משפט פרמה \| משפט רול \| משפט הערך הממוצע של לגראנז' \| משפט הערך הממוצע של קושי \| משפט דארבו \| כלל לופיטל \| כלל השרשרת
האינטגרל:	אינטגרל \| המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי \| אינטגרציה בחלקים \| שיטות אינטגרציה
אנליזה מתקדמת:	פונקציה מרוכבת \| אנליזה וקטורית \| שיטת ניוטון-רפסון \| משוואה דיפרנציאלית \| טופולוגיה \| תורת המידה
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%A0/%D7%92/%D7%96/%D7%A0%D7%92%D7%96%D7%A8%D7%AA.html

קטגוריה: אנליזה מתמטית