Número e

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Sistema numérico en matemática.
Conjuntos de Números
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Números con propiedades especiales
Primos $\mathbb{P}$ , Abundantes, Perfectos, Defectivos, Amigos, Sociables, Algebraicos

El número e, base de los logaritmos naturales o neperianos, es sin duda el número más importante del campo del cálculo.

Su valor aproximado por truncamiento es 2,71828182845904523.

e es un número trascendental.

[editar] Definición

La definición más natural es la siguiente: $e$ es el único número real cuyo logaritmo natural es 1:

$\ln e = 1 \quad$

lo que significa :

$\int_1^e \frac {dx} x = 1$

[editar] Propiedades

Las propiedades siguientes se pueden deducir de la definición anterior:

1) e es el límite de la sucesión de término general $\left(1 + \frac{1}{n} \right)^n$

Primero, la propiedad se puede generalizar a una variable real, pasando del límite de una sucesión al de una función:

$e = \lim_{x \to \infin} \left(1 + \frac {1} {x}\right)^{x}$

Como el término de derecha tiene un exponente que varía, lo más práctico es tomar su logaritmo y hacer el cambio de variable

h = 1 / x

$ln ((1 + h)^\frac {1} {h}) = \frac {ln(1+h)} {h} = \frac {\int_1^{1+h} \frac {dx} x} {h} =$

$= \frac {\int_0^h \frac {dx} {1+x}} {h} = \frac {\int_0^h \left(1+O(x)\right)dx } {h} = \frac {h + O(h^2)} {h} = 1 + O(h)$

Como el logaritmo se aproxima a 1 cuando

h

tiende a cero por la derecha, la expresión original tiende hacia e.

2) e es la suma de los inversos de los factoriales:

$e = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{n!} + \cdots = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!}$

Desarrollando la potencia del binomio indicado en la propiedad anterior usando el teorema del binomio de Newton:

$\left(1 + \frac{1}{n} \right)^n = 1 + \frac{n}{1}\frac{1}{n} + \frac{n(n-1)}{1*2}\frac{1}{n^2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{1*2*3}\frac{1}{n^3} + ... + \frac{1}{n^n}$

$= 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1(1-\frac{1}{n})}{2!} + \frac{1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})}{3!} + ... + \frac{1}{n^n}$

Cuando

n

tiende a infinito, los productos que están en los numeradores tienden a 1, por lo que cada término de esta expresión tiende a $\frac{1}{k!}$ , como se quería demostrar.

3) el desarrollo decimal de e no muestra regularidad alguna. Sin embargo, con las fracciones continuas, que pueden ser normalizadas (con los numeradores todos iguales a 1) o no, obtenemos, en fracción continua normalizada:

$e = 2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{4 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{6 + \frac{1}{1 + \cdots}}}}}}}}}$

lo que se escribe e = [2, 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1 ... 1,2n,1, ... ], propiedad descubierta por Leonhard Euler, y en fracción continua no normalizada:

$e = 2 + \frac{2}{2 + \frac{3}{3 + \frac{4}{5 + \frac{5}{6 + \frac{6}{7 + \frac{7}{8 + \cdots}}}}}}$

En ambos casos, e presenta regularidades no fortuitas.

4) e es irracional y trascendental.

[editar] Función exponencial

Se llama exponencial la función definida sobre los reales por $x \longmapsto e^x$

La exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés en el análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando la variable vale 0.
La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, mediante la relación: $e^{\mathrm{i}x} = \cos x + \mathrm{i}\,\sin x$ . Un caso particular de esta relación es la identidad de Euler.

En 1975, el suizo Felix A. Keller descubrió la siguiente fórmula que se aproxima a "e" ("expresión de Keller" Steven Finch, mathsoft):

$e = \lim_{n\to\infty} \quad {\rm }\frac{n^n}{(n-1)^{(n-1)}} - \frac{(n-1)^{(n-1)}}{(n-2)^{(n-2)}} \quad {\rm para}\quad\left|n\right|>2.$

Esta fórmula fue publicada por primera vez en 1998 en el sitio web sobre "e" http://www.mathsoft.com/asolve/constant/e/e.html de Steven Finch. Se llama "Expresión de Keller".

Otro límite con el que se obtiene el número e es:

$e= \lim_{n \to \infty}(p_n \#)^{1/p_n}$ ( Sebastián Martín Ruiz 1997 )

donde $p n$ es el enésimo Número primo y $p_n \#$ es el primorial del enésimo primo.

[editar] Series

Las series de JCM:

$e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2(k!)}$

$e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^3}{5(k!)}$

$e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^4}{15(k!)}$

$e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^5}{52(k!)}$

$e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^6}{203(k!)}$

[editar] Fuente

El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en castellano bajo la licencia GFDL.