Teoria quantistica dei campi

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Meccanica quantistica
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La Teoria quantistica dei campi (in inglese Quantum field theory o QFT) è l'applicazione della meccanica quantistica ai campi. Essa fornisce un sistema di riferimento ampiamente usato in fisica delle particelle e in fisica della materia condensata. In particolare, la teoria quantistica del campo elettromagnetico, conosciuta come elettrodinamica quantistica, è una delle teorie più testate e di successo della fisica. I fondamenti della teoria quantistica dei campi furono sviluppati tra i tardi anni '20 e gli anni '50, principalmente da: Dirac, Pauli, Tomonaga, Schwinger, Feynman, e Dyson.

Indice

1 Imperfezioni della meccanica quantistica ordinaria
2 Campi quantistici
3 Assiomi di Wightman
4 Bibliografia

[modifica] Imperfezioni della meccanica quantistica ordinaria

La teoria quantistica dei campi corregge molte imprecisioni della meccanica quantistica ordinaria, che discuteremo brevemente. L'equazione di Schrödinger, nella sua forma più comune è

$\left[ - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}) \right] \Psi(\mathbf{r}, t) = i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)$

dove $\hbar$ è la costante di Planck, Ψ è la funzione d'onda di una particella, m la sua massa, e V un'energia potenziale applicata.

Ci sono due problemi associati a questa equazione. In primo luogo non è relativistica, il limite di corrispondenza è ridotto alla meccanica classica piuttosto che a quella relativistica. Ciò è visibile se notiamo che il primo termine a sinistra rappresenta solamente l'energia cinetica classica p²/2m, mentre l'energia a riposo mc² viene omessa. È possibile modificare l'equazione di Schrödinger per includere l'energia a riposo, ottenendo l'equazione di Klein-Gordon o l'equazione di Dirac. Comunque, queste equazioni hanno molti aspetti insoddisfacenti; ad esempio, possiedono uno spettro energetico che si estende fino a -∞, e quindi non esiste uno stato fondamentale. Queste inconsistenze si ottengono poiché queste equazioni non considerano la possibilità di creare o distruggere dinamicamente delle particelle, che è un aspetto cruciale della relatività. La famosa relazione massa-energia di Einstein prevede che particelle sufficientemente grandi possano decadere in particelle più leggere, e particelle sufficientemente energetiche, possano combinarsi a formare particelle grandi. Ad esempio, un elettrone e un positrone possono annichilirsi a vicenda per creare due fotoni. Questi processi devono essere tenuti in considerazione in un a teoria quantistica veramente relativistica.

Il secondo problema si ha quando cerchiamo di estendere l'equazione a grandi numeri di particelle. Particelle identiche sono indistinguibili le une dalle altre (dato che non è possibile conoscerne in modo preciso posizione e velocità allo stesso momento), per cui la funzione d'onda dell'intero sistema deve essere simmetrica (bosoni) o antisimmetrica (fermioni) quando le coordinate delle particelle costituenti vengono scambiate. Questo rende la funzione d'onda di sistemi a molte particelle estremamente complicata. Ad esempio, la funzione d'onda generale di un sistema di N bosoni si scrive come

$\Phi(r_1, ..., r_N) = \frac{1}{\sqrt{N!}} \sum_{p} \phi_{p(1)} (r_1) \cdots \phi_{p(N)} (r_N)$

dove r_i sono le coordinate della i-esima particella, φ_i sono le funzioni d'onda delle singole particelle, e la somma è presa su tutte le possibili permutazioni di p elementi. In generale, questa è una somma di N! (N fattoriale) termini distinti, che diventa rapidamente ingestibile, al crescere di N.

[modifica] Campi quantistici

Entrambi i problemi di cui sopra vengono risolti spostando l'attenzione da un insieme di particelle indistruttibili a un "campo quantistico". La procedura per la quale i campi quantistici vengono costruiti da particelle individuali venne introdotta da Dirac, ed è nota (per motivi storici) come seconda quantizzazione.

Dobbiamo evidenziare due possibili punti di confusione. Prima di tutto, le summenzionate descrizioni di "campo" e "particella" non si riferiscono alla dualità onda-corpuscolo. Per "particella" ci riferiamo a entità che possiedono entrambi gli attributi ondulatori e corpuscolari, nel senso classico della meccanica quantistica; ad esempio, queste "particelle" non sono generalmente posizionate in un punto fisso, ma hanno una certa probabilità di essere trovate in una certa posizione nello spazio. Quello che indichiamo come "campo" è un'entità che esiste in ogni punto dello spazio, "che regola la creazione e l'annichilazione delle particelle". In secondo luogo, la teoria quantistica dei campi è essenzialmente la meccanica quantistica, e non una teoria sostitutiva della meccanica quantistica. Come in ogni sistema quantistico, un campo quantistico possiede una Hamiltoniana H (anche se è più complicata delle tipiche Hamiltoniane delle singole particelle), e obbedisce alla solita equazione di Schrödinger

$H \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle$

(La teoria quantistica dei campi, è spesso formulata in termini di una Lagrangiana, che è più comoda da manipolare. Ad ogni modo si ritiene che la formulazione Lagrangiana e Hamiltoniana siano equivalenti).

Nella seconda quantizzazione, facciamo uso dell'indistinguibilità delle particelle, specificando una funzione d'onda di più particelle, in termini di numero di occupazione della singola particella. Ad esempio, si supponga di avere un sistema con N bosoni che possono occupare vari stati della singola particella: φ₁, φ₂, φ₃, e così via. Il metodo usuale di scrivere una funzione d'onda per più particelle è quello di assegnare uno stato ad ogni particella e quindi imporre una simmetria di scambio. Come abbiamo visto, la funzione d'onda risultante è una poco maneggevole somma di N! termini. Nell'approccio della seconda quantizzazione, elenchiamo semplicemente il numero di particelle in ognuno degli stati della singola particella, ben sapendo che la funzione d'onda per più particelle è simmetrica. Per essere precisi, supponiamo che N = 3, con una particella nello stato φ₁ e due nello stato φ₂. Il modo normale di scrivere la funzione d'onda è

$\frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \phi_1(r_1) \phi_2(r_2) \phi_2(r_3) + \phi_2(r_1) \phi_1(r_2) \phi_2(r_3) + \phi_2(r_1) \phi_2(r_2) \phi_1(r_3) \right]$

Mentre in forma di seconda quantizzazione è semplicemente

$|1, 2, 0, 0, \cdots \rangle$

Anche se la differenza è puramente notazionale, l'ultima forma rende estremamente semplice definire operatori di "creazione" e di "annichilazione", che aggiungono e sottraggono particelle dagli stati a più particelle. Questi operatori di creazione ed annichilazione sono molto simili a quelli definiti per gli oscillatori armonici quantistici, che aggiungono e sottraggono quanti di energia. Comunque, questi operatori, creano e annichilano particelle con un dato stato quantico. Ad esempio l'operatore di annichilazione a₂ ha i seguenti effetti:

$a_2 | 1, 2, 0, 0, \cdots \rangle \equiv | 1, 1, 0, 0, \cdots \rangle \sqrt{2}$

$a_2 | 1, 1, 0, 0, \cdots \rangle \equiv | 1, 0, 0, 0, \cdots \rangle$

$a_2 | 1, 0, 0, 0, \cdots \rangle \equiv \quad 0$

(Il fattore √2 nella prima linea normalizza la funzione d'onda e non è importante)

Infine, introduciamo gli "operatori di campo", che definiscono la probabilità di creare o distruggere una particella in un particolare punto dello spazio. si scopre che le funzioni d'onda della singola particella sono normalmente enumerate in termini della loro quantità di moto (come nel problema della particella in scatola), cosicché gli operatori di campo possono essere costruiti applicando delle trasformate di Fourier agli operatori di creazione ed annichilazione. Ad esempio, l'operatore di annichilazione del campo bosonico φ(r) (che non va confuso con la funzione d'onda) è

$\phi(\mathbf{r}) \equiv \sum_{i} e^{i\mathbf{k}_i\cdot \mathbf{r}} a_{i}$

Nella teoria quantistica dei campi, le Hamiltoniane sono scritte in termini di operatori di creazione o annichilazione o, equivalentemente, di operatori di campo. Il secondo metodo è più comune in fisica della materia condensata, mentre il primo è più comune in fisica delle particelle, poiché è più facile da gestire con la relatività. Un esempio di Hamiltoniana scritta in termini di operatori di creazione e annichilazione è

$H = \sum_k E_k \, a^\dagger_k \,a_k$

Questa descrive un campo di bosoni liberi (non-interagenti), dove E_k è l'energia cinetica del k-esimo modo di momento. Infatti, questa Hamiltoniana è utile per descrivere fononi non-interagenti.

[modifica] Assiomi di Wightman

Gli assiomi di Wightman sono uno dei molti tentativi di dare una solida base matematica alla teoria quantistica dei campi.

Si veda assiomi di Wightman.

[modifica] Bibliografia

F. Mandl, G. Shaw, Quantum Field Theory, 1993, John Wiley & Sons;
F. Gross, Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory, 1993, Wiley-Interscience;
S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields, 1995, Cambridge University Press;
M. E. Peskin, An Introduction to Quantum Field Theory, 1995, HarperCollins Publishers.

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