Trasformata di Fourier

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La trasformata di Fourier è una trasformata integrale fra le più importanti della matematica, con innumerevoli applicazioni nelle scienze, in particolare la fisica (acustica, ottica, cristallografia), e in matematica stessa (analisi, teoria della probabilità, statistica, teoria dei numeri, geometria). Nella teoria dei segnali, la trasformata di Fourier viene interpretata come rappresentazione di un segnale in termini di frequenze e relative ampiezze.

La trasformata di Fourier fu sviluppata dal matematico francese Jean Baptiste Joseph Fourier nel 1822, nel suo trattato Théorie analytique de la chaleur.

[modifica] Definizione

Definizione: Trasformata di Fourier

Sia $u \in L^1(\R): t \to u(t)\!$ si definisce trasformata di Fourier della funzione $u\!$ :

$\mathcal{F}\{u\}(\omega) = \hat{u}(\omega) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} e^{-i\omega t}u(t)\,dt\qquad\forall\omega\in\R\!$

Indichiamo l'operazione con la lettera F calligrafica, perciò:

$\mathcal{F}: u\to\hat{u}\!$

Si può estendere questa definizione anche per funzioni $u(\mathbf{t})\in L^1(\R^n)\!$ :

Definizione: Trasformata di Fourier

Sia $u \in L^1(\R^n): \mathbf{t} \to u(\mathbf{t})\!$ si definisce trasformata di Fourier della funzione $u\!$ :

$\mathcal{F}\{u\}(\boldsymbol{\omega}) = \hat{u} (\boldsymbol{\omega}) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}^n} \int_{\R^n} e^{-i\boldsymbol{\omega}\cdot \mathbf{t}}u(\mathbf{t})\,d\mathbf{t}\qquad\forall\boldsymbol{\omega}\in\R^n\!$

Dove $\boldsymbol{\omega}\cdot \mathbf{t}\!$ rappresenta il prodotto scalare.

Più avanti vedremo anche il significato del fattore $\frac{1}{\sqrt{2\pi}^n}\!$ .

[modifica] Esempi

Sia $u(t) = \chi_{[-1,+1]}(t)\!$ , cioè la funzione porta di ampiezza due, perciò:

$\hat u (\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} e^{-i\omega t}\chi_{[-1,+1]}(t)\,dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-1}^{+1}e^{-i\omega t}\,dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} {\left [\frac{e^{-i\omega t}}{-i\omega} \right ]}_{-1}^{+1} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{e^{i\omega}-e^{-i\omega}}{i\omega} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\sin\omega}{\omega}\!$

Sia $u(t) = \frac{1}{1+t^2}\!$ , perciò:

$\hat u (\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} e^{-i\omega x}u(t)\,dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} v.p. \int_{\R} e^{-i\omega t}u(t)\,dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{+R} e^{-i\omega t}u(t)\,dt$

Ora applicando il principio del prolungamento analitico e il lemma di Jordan otteniamo:

$\lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{+R} e^{-i\omega t}u(t)\,dt = \begin{cases} \pi e^\omega & \omega < 0 \\ \pi e^{-\omega} & \omega > 0 \end{cases}$

Mettendo insieme le due cose otteniamo:

$\hat u (\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} \frac{e^{-i\omega t}}{1+t^2}\,dt = \sqrt{\frac{\pi}{2}} e^{-|\omega|}\!$

[modifica] Proprietà formali

Dalla linearità dell'integrale segue immediatamente la linearità della trasformata di Fourier, esplicitamente:

$\mathcal{F}(f + \alpha g) = \mathcal{F}(f) + \alpha \mathcal{F}(g)$

per ogni $f, g \in L^1(\mathbb{R})$ e $\alpha \in \mathbb{C}$ .

Segue immediatamente dalla definizione che una traslazione della funzione risulta nella moltiplicazione con un esponenziale della trasformata, e vice versa: siano $f \in L^1(\mathbb{R})$ e $\alpha \in \mathbb{C}$ , allora

g (t) = f (t - α)

, allora $\hat{g}(\omega) = \hat{f}(\omega)e^{-i\alpha\omega}$ , e

g (t) = f (t) e i α t

, allora $\hat{g}(\omega) = \hat{f}(\omega - \alpha)$ .

Si hanno inoltre certe simmetrie, per cui se $g (t) = f ( - t)$ , allora $\hat{g}(\omega) = \hat{f}(-\omega)$ , e se $g (t) = f ( - t) *$ , dove l'asterisco denota il complesso coniugato, allora $\hat{g}(\omega) = \hat{f}(\omega)^*$ . In particolare, se f è reale e pari, allora $\hat{f}$ è reale e pari; se invece f è reale e dispari, allora $\hat{f}$ è immaginaria e dispari.

Con un semplice cambio di variabile si ottiene che se $g (t) = f (t / λ)$ con $λ > 0$ , allora $\hat{g}(\omega) = \lambda \hat{f}(\lambda \omega)$ .

Una proprietà importante è che la trasformata di una convoluzione è data semplicemente dal prodotto delle trasformate. Se per semplificare la notazione si usa la stessa normalizzazione della trasformata di Fourier anche per la convoluzione, cioè per $f,g \in L^1(\mathbb{R})$

$(f*g)(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(t-s) g(s) \mathrm{d}s$ ,

allora si ha

$\widehat{f*g} = \hat{f} \hat{g}$ .

Si può dimostrare questa proprietà applicando il teorema di Fubini.

Con un'integrazione per parti si può dimostrare che se $g (t) = - i t f (t)$ e $f,g \in L^1(\mathbb{R})$ , allora $\hat{f}$ è differenziabile e la derivata è data da $\hat{f}'(\omega) = \hat{g}(\omega)$ . Se vice versa $f \in L^1(\mathbb{R})$ è differenziabile e la derivata è a sua volta assolutamente integrabile, $f' \in L^1(\mathbb{R})$ , allora la trasformata della derivata è $\widehat{f'} (\omega) = i\omega \hat{f}(\omega)$ . Questa proprietà permette di trovare le soluzioni di alcune equazioni differenziali, trasformandoli in equazioni algebriche per la trasformata di Fourier della soluzione.

[modifica] Teorema Riemann - Lebesgue

Teorema: Teorema Riemann - Lebesgue

Sia $u \in L^1(\R^n)\!$ , se $\hat u = \mathcal{F}\{u\}$ , allora:

$\hat u \in C^0(\R^n)\cap L^\infty (\R^n)\!$
${\left\| \hat u \right\|}_{L^\infty(\R^n)} \le {\left\| u \right\|}_{L^1(\R^n)}\!$
$\lim_{\|\boldsymbol{\xi}\|\to\infty} \hat u (\boldsymbol{\xi}) = 0\!$