Teorema di Ehrenfest

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Per un'osservabile fisico A in meccanica quantistica, il teorema di Ehrenfest assume la forma:

$\frac{\operatorname d \langle \hat A \rangle}{\operatorname d t} = \left \langle \frac{\partial \hat A}{\partial t} + \frac{1}{i\hbar} [\hat A, \hat H] \right \rangle$

[modifica] Derivazione

Per una qualsiasi osservabile fisica, il valor medio in un generico stato rappresentato dalla funzione d'onda ψ(r) è dato dall'integrale:

$\langle \hat A \rangle = \int \psi^{(*)}(\vec r) \hat A \psi(\vec r) \operatorname d^3 r$

Derivando questa rispetto al tempo, si ottiene:

$\frac {\operatorname d \langle \hat A \rangle}{\operatorname d t} = \langle \frac {\partial}{\partial t} \psi (t) | \hat A | \psi (t) \rangle + \langle \psi (t) | \frac {\partial}{\partial t} \hat A | \psi (t) \rangle + \langle \psi (t) | \hat A | \frac {\partial}{\partial t} \psi (t) \rangle$

Sostituendo alle derivate della funzione d'onda la corrispondente espressione ricavata dall'equazione di Schrödinger, e considerando che l'hamiltoniano è hermitiano, si ottiene l'espressione iniziale del teorema.

Esso può essere formulato qualitativamente dicendo che i valori di aspettazione delle osservabili seguono le regole della meccanica classica.

Le ipotesi del teorema sono del tutto generali.

[modifica] Con gli operatori

Si può scrivere una relazione equivalente utilizzando solo gli operatori:

$\frac{\operatorname d \hat A }{\operatorname d t} = \frac{\partial \hat A}{\partial t} + \frac{1}{i\hbar} [\hat A, \hat H]$

Da questa risulta evidente che se $\hat A$ non dipende dal tempo, allora esso commuta con l'hamiltoniano, descrivendo una grandezza conservativa o costante del moto.

Un'immediata applicazione di questa è il calcolo della velocità di una particella. Nel caso la velocità sia la derivata rispetto al tempo della sua posizione nel piano cartesiano, è immediato vedrificare che:

$\hat v = \frac{1}{i\hbar} [\hat H,\hat r]$