Principio di indeterminazione di Heisenberg

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Nella fisica quantistica, il principio di indeterminazione di Heisenberg sostiene che:

non è possibile conoscere simultaneamente posizione e quantità di moto di un dato oggetto con precisione arbitraria,

inoltre quantifica esattamente l'imprecisione. È una delle chiavi di volta della meccanica quantistica e venne formulato da Werner Heisenberg nel 1927. Il principio non si applica soltanto alla posizione e alla quantità di moto, ma a qualsiasi coppia di variabili canonicamente coniugate. Nelle formulazioni moderne della meccanica quantistica il principio non è più tale ma è un teorema facilmente derivabile dai postulati.

Indice

1 Panoramica
2 Il principio di indeterminazione come teorema
- 2.1 Dimostrazione
- 2.2 Corollari
3 L'indeterminazione per energia e tempo
4 Indeterminazione e stringhe
5 Interpretazioni
6 Voci correlate
7 Collegamenti esterni

[modifica] Panoramica

Il principio di indeterminazione viene a volte spiegato erroneamente, sostenendo che la misura della posizione disturba necessariamente il momento lineare della particella e lo stesso Heisenberg diede inizialmente questa interpretazione. In realtà il disturbo non gioca nessun ruolo, in quanto il principio è valido anche quando la posizione viene misurata in un sistema e il momento viene misurato in una copia identica del primo sistema. È più accurato dire che in meccanica quantistica le particelle hanno alcune proprietà tipiche delle onde, non sono quindi oggetti puntiformi, e non possiedono una ben definita coppia posizione e momento.

Si consideri la seguente analogia: supponiamo di avere un segnale che varia nel tempo, come un'onda sonora, e che si vogliano sapere le frequenze esatte che compongono il segnale in un dato momento. Questo risulta essere impossibile: infatti per poter determinare le frequenze accuratamente, è necessario campionare il segnale per un intervallo temporale e si perde quindi la precisione sul tempo. (In altre parole, un suono non può avere sia un tempo preciso, come in un breve impulso, che una frequenza precisa, come in un tono puro continuo). Il tempo e la frequenza dell'onda nel tempo, sono analoghi alla posizione e al momento dell'onda nello spazio. Il principio viene abitualmente reso con la formula

$\Delta x\Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$

in cui $Δ x$ è l'errore sulla posizione e $Δ p$ quello sulla quantità di moto, mentre $\hbar$ è la costante di Planck rinormalizzata $\hbar = h / 2\pi$ .

[modifica] Il principio di indeterminazione come teorema

Nonostante fosse inizialmente stato formulato come principio, ed il nome sia rimasto tale, nella meccanica quantistica contemporanea si preferisce far discendere il principio di indeterminazione dai postulati. In questo senso il principio di indeterminazione è in realtà un teorema.

[modifica] Dimostrazione

Presi gli operatori $\hat{A}$ e $\hat{B}$ (associati alle grandezze osservabili A e B) si possono definire gli scarti dalla media come $\hat{A}_0 = \hat{A} - \left \langle \hat{A} \right \rangle$ e $\hat{B}_0 = \hat{B} - \left \langle \hat{B} \right \rangle$ . Di conseguenza le deviazioni standard hanno la forma $\Delta \hat{A}^2 = \left \langle \hat{A}_0^2 \right \rangle$ e $\Delta \hat{B}^2 = \left \langle \hat{B}_0^2 \right \rangle$ .
Il prodotto delle deviazioni standard può essere riscritto come: $\Delta \hat{A}^2 \Delta \hat{B}^2 = \left \langle \hat{A}_0^2 \right \rangle \left \langle \hat{B}_0^2 \right \rangle \geq \left \| \left \langle \hat{A}_0 \hat{B}_0 \right \rangle \right \|^2$ (dove l'ultimo passaggio non è altro che la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz).
Per procedere riscriviamo $\hat{A}_0 \hat{B}_0$ in funzione del commutatore e dell'anticommutatore ( $\hat{A}_0 \hat{B}_0 = \frac{1}{2} \left [\hat{A}_0, \hat{B}_0 \right ] + \frac{1}{2} \left \{ \hat{A}_0, \hat{B}_0 \right \}$ ) e notiamo che, dato che le traslazioni non influenzano i commutatori, $\left [\hat{A}_0, \hat{B}_0 \right ] = \left [\hat{A}, \hat{B} \right ]$ .
Supponendo di poter scrivere $\left [\hat{A}, \hat{B} \right ] = i \hat{C}$ (questo, ad esempio, è vero per tutte le coppie di grandezze coniugate), otteniamo
$\Delta \hat{A}^2 \Delta \hat{B}^2 = \left ( \Delta \hat{A} \Delta \hat{B} \right )^2 \geq \left \| \left \langle \frac{i}{2} \hat{C} + \frac{1}{2} \left \{ \hat{A}_0, \hat{B}_0 \right \} \right \rangle \right \|^2 \geq \frac{\left \| \left \langle \hat{C} \right \rangle \right \|^2}{4}$ ovvero
$\Delta \hat{A} \Delta \hat{B} \geq \frac{\left \| \left \langle \hat{C} \right \rangle \right \| }{2}$ che è il principio di indeterminazione nella sua forma più generale.
Nel caso particolare dell'indeterminazione fra posizione e momento, si ha (dato che $\left [ \hat{x}, \hat{p} \right ] = i \hbar$ ) esattamente $\Delta \hat{x} \Delta \hat{p} \geq \frac{\hbar}{2}$ .

[modifica] Corollari

Come risulta dalla dimostrazione formale di cui sopra il principio di indeterminazione non si applica a tutte le possibili coppie di osservabili. Ad esempio è sempre possibile, in linea di principio, misurare posizione e carica elettrica contemporaneamente e con precisione arbitraria. In maniera analoga, mentre il principio di indeterminazione si applica alla misura di $x$ e della componente della quantità di moto lungo $x$ , questo non si applica alla misura contemporanea di $x$ e di $p y$ (dato che $\left [ x, p_y \right ] = 0$ ).

[modifica] L'indeterminazione per energia e tempo

Il principio di indeterminazione di Heisenberg, formulato per la coppia posizione-movimento, è anche applicabile alla coppia energia e tempo, fatto di notevole importanza e che, come tale, ha conseguenze molto rilevanti. Queste conseguenze possono essere chiarite meglio partendo da un esempio pratico. Per misurare l'energia di un fotone si può fare uso della formula di Planck

E = h ν

che manifesta la proporzionalità diretta tra l'energia E e la frequenza del fotone $ν$ . In pratica però, per misurare la frequenza si devono contare le oscillazioni in un intervallo di tempo determinato: per fare ciò bisogna che si verifichi almeno un'oscillazione completa. Ecco perché l'intervallo di tempo deve essere determinato: non si può infatti stabilire la frequenza di una radiazione in meno tempo di quello che la luce impiega per fare un'oscillazione completa. Perciò per le onde radio si impiega più tempo a stabilire la frequenza rispetto alla radiazione visibile, perché per compiere un'oscillazione le prime ci impiegano molto più tempo delle seconde. Questa premessa sottolinea che c'è sempre un limite ineliminabile con cui si può conoscere la frequenza di un fotone o di qualunque altra particella: se infatti si misura solo parte dell'oscillazione, il valore della frequenza e per conseguenza quello dell'energia, è indeterminato; perciò, una determinazione esatta del valore energetico della particella, implica un campionamento piuttosto lungo dell'onda. Ma se in un esperimento interessa sapere quando avviene un evento, lo si deve fare a scapito della misura dell'energia, perché in simili situazioni non è più possibile misurare oscillazioni complete. Ecco che energia e tempo risultano essere non compatibili fra loro, perché una precisa misurazione dell'una rende imprecisa quella dell'altro e viceversa. Usando poi i formalismi matematici, il prodotto degli errori sulle misurazioni dell'energia e del tempo ha le medesime proprietà del prodotto della coppia posizione-momento e risulta quindi essere

$\Delta E\Delta t \ge \frac{\hbar }{2}$

da cui deriva che

$\Delta E \ge \frac{\hbar }{{2\Delta t}}$

da cui si vede che energia e tempo sono inversamente proporzionali. Questo fa sì che diminuendo il valore del tempo si accresce quello dell'energia, ovvero se si effettuano misurazioni per un periodo di tempo tendente a zero, i valori di energia tendono ad infinito: un fatto strano questo, che però permette la violazione del principio di conservazione dell'energia per istanti tanto brevi da non poter essere apprezzati.

La conseguenza estrema di tutto questo è il fatto che il vuoto non sia poi così vuoto, ma in realtà ricco di fluttuazioni energetiche di brevissima durata, che provocano effetti come la schermatura della carica elettrica e il mascheramento di quella di colore. Infatti, nella QED, il vuoto è considerato come se fosse denso di coppie elettrone-positrone che si creano e si annichilano in un tempo così breve da non poter essere osservate e dette virtuali. Questa peculiarità del vuoto è ben visibile però, perché queste particelle, pur essendo virtuali, interagiscono con le particelle reali, scheramndone la carica elettrica: se, per esempio, un elettrone venisse inserito in questo vuoto, la sua carica verrebbe parzialmente indebolita. Anche la QCD, per spiegare il mascheramento della carica di colore dei quark all'interno del vuoto, ritiene quest'ultimo "popolato" da coppie quark-antiquark virtuali che si comportano esattamente come gli elettroni e positroni virtuali nella QED.

Un'altra conseguenza che però eviterebbe la violazione del principio di conservazione dell'energia, sarebbe la creazione di coppie di particelle in cui una delle due ha energia positiva e l'altra negativa, come è dimostrato dalle soluzioni negative che si possono ottenere nell'equazione di Dirac e come è suggerito da Stephen Hawking per spiegare come i buchi neri possano emettere particelle e perdere massa, teoria recentemente dimostrata vera dallo stesso fisico. Infatti proprio come il vuoto in QED e QCD, quello che circonda un buco nero ha le stesse proprietà. Il fatto che i buchi neri emettano particelle è pertanto spiegabile ipotizzando che le particelle non vengano emesse direttamente dal buco nero, ma dai suoi dintorni ed in particolare da questo vuoto quantistico, ricco di fluttuazioni: la forte gravità del buco nero attrae anche queste particelle virtuali e a volte può capitare che solo una delle due cada nel buco; l'altra riuscirebbe a sfuggire e potrebbe essere osservata perché, avendo persa la sua compagna, si trasformerebbe in una particella reale. E delle due particelle create nel vuoto quella attratta dal buco nero è quella con energia negativa, possedendo una minore energia potenziale. Quello che ne risulta, è che la massa del buco nero è, seppur insensibilmente, diminuita.

[modifica] Indeterminazione e stringhe

Il principio di Heisenberg è fondamentale anche nella teoria delle stringhe, con la quale risulta essere perfettamente coerente, sebbene in maniera diversa rispetto alla meccanica quantistica. In particolare, l'indeterminazione è strettamente correlata con la tensione della stringa, attraverso un parametro fondamentale, e con la sua lunghezza. La novità sta nel fatto che, nella teoria delle stringhe, ad un momento infinito non corrisponde, come dovrebbe essere tradizionalmente, una dimensione di lunghezza pari a zero. Questo perché la relazione tra momento e lunghezza è:

$\Delta L \sim \frac{\hbar }{p} + \alpha '\frac{p}{\hbar }$ ,

dove $Δ L$ è la lunghezza di stringa, $p$ è il suo momento, $\hbar$ è la costante di Planck rinormalizzata e $α'$ è un parametro, il quale svolge un ruolo primario nella teoria delle stringhe, in quanto l'uguaglianza

$T_{stringa} = \frac{1}{{2\pi \alpha '}}$

esprime il suo legame con la tensione propria della stringa; in questo modo deve esistere una minima lunghezza di stringa osservabile, ovvero

$L_{\min } \sim 2\sqrt {\alpha '}$ .

Perciò, tutti i problemi legati alla distanza pari a zero, così importanti nella teoria quantistica dei campi, per la teoria delle stringhe diventano irrilevanti. Infatti, se la teoria delle stringhe è una teoria quantistica della gravità, allora l'entità della scala di lunghezza deve essere almeno quella della scala di Planck, data dalla combinazione tra costante di gravitazione universale, velocità della luce e costante di Planck rinormalizzata:

$L_P = \sqrt {\frac{{\hbar G_N }}{{c^3 }}}$ .

[modifica] Interpretazioni

Albert Einstein non era soddisfatto del principio di indeterminazione, e sfidò Niels Bohr con il seguente famoso esperimento mentale: "Riempiamo una scatola con del materiale radioattivo che emette radiazioni casuali. La scatola ha uno sportello, che viene aperto e chiuso immediatamente, da un orologio, a un preciso istante, permettendo così a un po' di radiazione di uscire. In questo modo il tempo è già noto con precisione. Vogliamo ancora misurare la variabile coniugata energia, con precisione. Non c'è problema dice Einstein: pesiamo la scatola prima e dopo. L'equivalenza tra massa ed energia, derivante dalla relatività speciale ci permetterà di determinare precisamente quanta energia ha lasciato la scatola". Bohr ribatté come segue, per di più applicando l'equivalenza massa-energia sviluppata proprio da Einstein: "Se l'energia esce, la scatola è più leggera e si solleverà leggermente sulla bilancia. Questo cambia la posizione dell'orologio. Quindi l'orologio devia dal nostro sistema di riferimento stazionario, e quindi per la relatività speciale, la sua misurazione del tempo sarà diversa dalla nostra, portando ad un inevitabile margine d'errore". Infatti, un'analisi dettagliata mostra che l'imprecisione è correttamente data dalla relazione di Heisenberg.

All'interno della diffusa (ma non universalmente accettata) interpretazione di Copenaghen della meccanica quantistica, il principio di indeterminazione è inteso come il fatto che a un livello elementare, l'universo fisico non esiste in forma deterministica, ma piuttosto come una collezione di probabilità, o potenziali. Ad esempio, il modello (probabilità di distribuzione) prodotto da milioni di fotoni che passano attraverso una fessura di diffrazione, può essere calcolato usando la meccanica quantistica, ma il percorso esatto di ogni fotone non può essere predetto da nessun metodo conosciuto. L'interpretazione di Copenaghen sostiene che non può essere predetto da nessun metodo.

Ed è questa interpretazione che Einstein stava mettendo in discussione quando disse: "Non credo che Dio abbia scelto di giocare a dadi con l'universo". Bohr, che era uno degli autori dell'interpretazione di Copenaghen rispose: "Einstein, smettila di dire a Dio cosa deve fare", a cui Feynman aggiunse "Non solo Dio gioca a dadi, ma li lancia dove non possiamo vederli".

Einstein era convinto che questa interpretazione fosse errata. Il suo ragionamento era che tutte le distribuzioni di probabilità precedentemente conosciute, sorgessero da eventi deterministici. La distribuzione di un lancio di moneta può essere descritta con una distribuzione di probabilità (50% testa e 50% croce). Ma questo non significa che i movimenti fisici siano impredicibili. La meccanica classica può essere usata per calcolare esattamente come ogni moneta atterrerà, se le forze agenti su di essa sono conosciute. E la distribuzione testa/croce si allineerà con la distribuzione di probabilità (date forze iniziali casuali).

Einstein assunse che ci fossero delle variabili nascoste nella meccanica quantistica che sottostanno alle probabilità osservate. Né Einstein né altri sono mai riusciti a costruire una teoria della variabile nascosta soddisfacente, e la disuguaglianza di Bell illustra alcuni aspetti critici di questa ricerca. Anche se il comportamento di una particella individuale è casuale, è correlato al comportamento delle altre particelle. Quindi, se il principio di indeterminazione è il risultato di qualche processo deterministico, deve essere il caso che particelle poste a grande distanza trasmettano istantaneamente l'informazione a tutte le altre, per assicurare che ci sia una correlazione nel comportamento.

Tuttavia, recentemente è stato proposto un meccanismo basato su una teoria classica del pendolo, il quale genera impredicibilità e quantizzazione a partire da un sistema deterministico. Gli autori della teoria non sanno al momento come verificare questa ipotesi.

[modifica] Voci correlate

[modifica] Collegamenti esterni

(EN) Quantizzazione di un pendolo

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