Quantizzazione del momento angolare
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La quantizzazione del momento angolare rappresenta uno dei risultati fondamentali della meccanica quantistica e ha una enorme portata nella trattazione dei principali problemi di fisica delle particelle, oltre che condurre alla predizione dell'esistenza dello spin.
Indice |
[modifica] Definizione del momento angolare
In meccanica quantistica il momento angolare è un' osservabile, quindi è rappresentato da un operatore hermitiano che chiamiamo .
In meccanica classica la definizione di momento angolare è la seguente:
dove e sono rispettivamente il vettore posizione e impulso. Attraverso il principio di corrispondenza è possibile definire il momento angolare in meccanica quantistica come:
da cui si possono esplicitare le componenti nel modo seguente:
Osserviamo immediatamente che sono operatori hermitiani, infatti sono combinazioni lineari di operatori hermitiani tra loro commutanti (N.B. posizione e impulso riferiti a coordinate diverse, ad esempio e , commutano!).
[modifica] Algebra degli operatori di momento angolare
1.In generale vale la relazione
dove è un tensore che assume il valore di +1 se le permutuazioni sono circolari pari o -1 se le permutazioni sono circolari dispari. Dimostriamo tale relazione nel seguente caso particolare:
2.Vale inoltre:
dove l'indice i può essere x, y oppure z. Dimostriamo il caso particolare
infatti:
Sommiamo e sottraiamo :LxLzLx e LyLzLy
Da 1. si conclude che l'algebra delle componenti del momento angolare è non commutativa.
Da 2. si conclude che gli operatori e diagonalizzano nello stesso sistema ortonormale completo di stati.
[modifica] Soluzione dell'equazione agli autovalori: via algebrica
Per affrontare il problema dell'equazione agli autovalori è conveniente utilizzare la notazione bra-ket creata da Dirac. Si cercano dunque gli autoket simultanei degli operatori e .
[modifica] Operatori scala
Si introducono a questo punto dei nuovi operatori, detti operatori scala:
- commuta sia con che con e quindi commuta anche con ;
- Se è un autovettore di appartenente all'autovalore , e sono autovettori appartenenti allo stesso autovalore :
- è anche autovettore di ma appartenente all'autovalore , così come appartiene all'autovalore :
[modifica] Calcolo degli autovalori
e