Fattoriale

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In matematica, se n è un intero positivo, si definisce n fattoriale e si indica con n! il prodotto dei primi n numeri interi positivi. In formule,

$n! := \prod_{k=1}^n k = 1\cdot2\cdot3\cdots(n-1)\cdot n$

Per definizione si chiede poi che $0!:=1\,\!$ . Questa richiesta si accorda con la richiesta che il prodotto di zero fattori, il cosiddetto prodotto vuoto, come la potenza nulla di un intero positivo, sia uguale ad 1. Questa scelta si rivela molto utile, in quanto consente di considerare valide varie formule anche quando alcuni loro fattori hanno la forma 0!. Si potrebbe quindi partire dalla definizione

$n! := \prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{per ogni intero naturale }n > 0~.$

**Valori dei primi fattoriali**
0!	1!	2!	3!	4!	5!	6!	7!	8!	9!	10!	11!	12!
1	1	2	6	24	120	720	5.040	40.320	362.880	3.628.800	39.916.800	479.001.600

La rapida crescita con n del valore di n! può risultare stupefacente e questo ha condotto Christian Kramp nel 1807 ad adottare la notazione con il punto esclamativo. Il nome fattoriale era stato coniato invece pochi anni prima, nel 1800, da Antoine Arbogast.

La sequenza dei fattoriali compare nella On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS, come sequenza A000142.

Indice

1 Definizione ricorsiva
2 Applicazioni
3 Varianti e Generalizzazioni
- 3.1 Funzione Gamma
- 3.2 Doppio fattoriale
4 Valutazione numerica dei fattoriali
5 Voci correlate
6 Collegamenti esterni

[modifica] Definizione ricorsiva

La funzione fattoriale può anche essere elegantemente definita in modo ricorsivo:

$n! := \left\{ \begin{matrix}1 \quad&&\mbox{se } n=0; \\ n(n-1)! &&\mbox{se } n\ge 1~.\end{matrix} \right.$

Per questa ragione, viene spesso utilizzata nell'insegnamento dell'informatica per fornire il primo esempio di calcolo ricorsivo.

[modifica] Applicazioni

I fattoriali innanzitutto sono importanti nel calcolo combinatorio. In particolare vi sono n! diverse sequenze formate da n oggetti distinti, cioè vi sono n! permutazioni di n oggetti; i fattoriali quindi enumerano le permutazioni.

Data l'importanza delle permutazioni, segue che i fattoriali si incontrano in numerosissime espressioni. Ad es., rimanendo nel calcolo combinatorio, il numero di scelte di k oggetti fra quelli che costituiscono un insieme di n elementi, cioè il numero dei sottoinsiemi di k elementi di un dato insieme di n oggetti, è dato dal cosiddetto coefficiente binomiale

${n\choose k} = {n!\over k!(n-k)!}~.$

I fattoriali si incontrano anche nel calcolo infinitesimale: innanzi tutto va osservato che la n-esima derivata di xⁿ è n!; una conseguenza di questo fatto è il teorema di Taylor che esprime una funzione f(x) come serie di potenze nella x servendosi dei fattoriali e dei valori delle derivate. I fattoriali si incontrano spesso anche nelle espressioni delle funzioni speciali, nell'analisi numerica, nel calcolo delle probabilità, nella meccanica statistica e nella meccanica quantistica.

[modifica] Varianti e Generalizzazioni

Il fattoriale presenta numerose varianti e generalizzazioni. Tra le prime il multifattoriale e in particolare il semifattoriale, il fattoriale crescente e il fattoriale decrescente. Tra le generalizzazioni discrete troviamo l'iperfattoriale e il superfattoriale. Molte di queste varianti nascono dal calcolo della cardinalità di alcuni insiemi nati dalla combinatoria. La funzione Gamma è invece una generalizzazione continua.

[modifica] Funzione Gamma

Per approfondire, vedi la voce funzione Gamma.

Si deve inoltre tenere presente la funzione Gamma, funzione analitica definibile mediante l'integrale

$\Gamma(z) := \int_{0}^{\infty} dt\, t^{z-1} e^{-t}~.$

Per essa si dimostrano facilmente le proprietà

$\Gamma(0)=1 \qquad \Gamma(z) = (z-1) \Gamma(z-1) \quad \mbox{per }z>1~.$

Essa dunque estende la funzione fattoriale definita sugli interi naturali all'intero campo complesso (con la sola eccezione degli interi negativi):

$z! = \Gamma(z+1) = \int_{0}^{\infty} dt\, t^z e^{-t}~.$

Si dimostra che essa è l'unica estensione analitica del fattoriale.

[modifica] Doppio fattoriale

La notazione n!! denota il semifattoriale (o doppio fattoriale) di n ed è definita ricorsivamente nel modo seguente:

$n!!*2= \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\quad\ &&\mbox{if }n=0\mbox{ or }n=1; \\ n(n-2)!!&&\mbox{if }n\ge2.\qquad\qquad \end{matrix} \right.$

Per esempio, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 e 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. La sequenza di semifattoriali (sequenza A006882 dell'OEIS) per n = 0, 1, 2,... iniza nel modo seguente:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...

Tra le identità che legano il fattoriale al doppio fattoriale, troviamo:

n! = n!!(n - 1)!!

[modifica] Valutazione numerica dei fattoriali

Il valore numerico di n! può essere calcolato mediante ripetute moltiplicazioni fino ad un valore non eccessivo di n; questo è quello che fanno le calcolatrici odierne. Al di sopra di un certo n lo strumento di calcolo in uso cessa di dare risultati sensati per overflows dei registri per i valori numerici. Ad es. una calcolatrice capace di operare su 100 cifre decimali riesce a calcolare 69!, ma non il fattoriale successivo, in quanto 70! > 10¹⁰⁰. Limite analogo si incontra quando si utilizzano i numeri reali ordinari con un linguaggio procedurale come C o Java. Volendo valutare esattamente fattoriali superiori con questi linguaggi si devono utilizzare routines che trattano gli interi con sequenze di variabili intere normali. In alternativa si utilizzano sistemi computazionali come Maple o Mathematica che permettono di trattare interi grandi quanto si vuole.

Quando n è molto grande in genere non serve conoscere il valore preciso di n! e può essere sufficiente stimarlo con una opportuna accuratezza. Per questo scopo in genere si usa la approssimazione di Stirling data da:

$n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n~.$

Vi sono poi elaborazioni che si servono di fattori dati da fattoriali di grandi numeri come valori intermedi, ma che alla fine portano a numeri non eccessivamente grandi. In questi casi può essere opportuno effettuare i calcoli intermedi servendosi di valori approssimati dei logaritmi dei fattoriali. Ad es. per calcolare un coefficiente binomiale si potrebbe usare la formula

${n\choose m} = \frac{n!}{m!(n-m)!} = \exp\left[\log(n!)-\log(m!)-\log((n-m)!)\right] ~.$

Per valori di n non troppo alti è disponibile in linea una calcolatrice di fattoriali di facile uso. Per valori più grandi si può usare questa calcolatrice veloce di grandi fattoriali, di altrettanto facile uso.