Fonone

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Meccanica quantistica
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Il fonone è un quanto di vibrazione in un reticolo cristallino rigido. Lo studio dei fononi è significativo nella fisica dello stato solido poiché giocano un ruolo importante nella comprensione di molte proprietà dei solidi cristallini quali la conduzione termica, la conduzione elettrica e la propagazione del suono.

I fononi sono la controparte quantistica di quello che in meccanica classica è noto come sviluppo in modi normali ovvero la scomposizione delle vibrazioni in "vibrazioni elementari" (dette modi normali). In quest'ottica tutte le vibrazioni possono essere viste e descritte formalmente come una sovrapposizione dei modi normali.

I fononi sono delle quasiparticelle perché, pur non essendo delle vere e proprie particelle ne hanno molte proprietà e possono essere trattate matematicamente nello stesso modo (possono essere creati, distrutti, possono fare scattering fra di loro e con le altre particelle ecc.).

I fononi sono alla base del meccanismo dell'effetto Hall quantistico, sia intera che frazionaria, della teoria sulla superconduzione delle coppie di Cooper ed in alcune ipotesi di computer quantistico.

[modifica] Storia

I fononi furono introdotti all'inizio del novecento da Debye ed Einstein all'interno dei rispettivi modelli per il calore specifico dei solidi, quando videro che il calcolo della funzione di partizione (e quindi delle quantità caratteristiche della meccanica statistica come l'energia media ed i numeri d'occupazione medi) relativa alle oscillazioni del reticolo cristallino portava a risultati analoghi a quelli ottenuti nell'ambito della teoria statistica delle particelle identiche di spin intero; i bosoni. Fu appunto in base a questa analogia con i bosoni che portò ad identificare i modi normali del reticolo cristallino con i fononi. Come i fotoni sono quanti di onde elettromagnetiche, nel modello di Debye, i fononi sono quanti di onde sonore che si propagano all'interno del solido.

[modifica] La catena monoatomica

Il modello più semplice in cui compaiono i fononi è la catena monoatomica. Consideriamo N+1 masse disposte linearmente, a distanza di riposo a, che interagiscano elasticamente con i loro primi vicini. Data la seconda legge della dinamica l'equazione di moto dell'n-esima massa (di coordinate $q n$ ) può essere scritta come

$\frac {\partial^2 q_{n}}{\partial t^2} = \omega^2 \left [ \left ( q_{n+1} - q_n - a \right ) + \left ( q_{n-1} - q_n + a \right ) \right ] = \omega^2 \left [ q_{n+1} - 2 q_n + q_{n-1} \right ]$

Relazione di dispersione per un fonone in una catena monoatomica.

Queste sono N+1 equazioni differenziali accoppiate e sono, in pratica, impossibili da risolvere non appena N è superiore a 3 o 4. È quindi necessario disaccoppiare le equazioni tramite un cambiamento di sistema di riferimento ovvero applicare una trasformazione all'equazione di moto in modo di passare nella rappresentazione dei modi normali. Facendo la sostituzione $q_n^{\left ( j \right )} = A_j e^{k_j a n - \omega_j t}$ il sistema di equazioni viene diagonalizzato e si ottiene che, per ogni modo normale j vale la relazione di dispersione

$\omega_j^2 = 4 \omega^2 \sin^2 \left ( \frac{a k_j}{2} \right )$ .

Imponendo condizioni al contorno periodiche ( $q n + N = q n$ ) si ottiene che $k_j = \frac{2 \pi}{L} j$ , ovvero le oscillazioni di una catena monoatomica di lunghezza finita non possono assumere tutti i valori di k ma solo un set di valori discreto.