Postulati della meccanica quantistica

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Questa voce di Fisica presuppone la conoscenza dei seguenti argomenti:

Meccanica quantistica
Postulati della meccanica quantistica Principio di indeterminazione di Heisenberg Equazione di Schrödinger Regola di quantizzazione di Dirac Teorema di Ehrenfest Quantizzazione del momento angolare Spin Coefficienti di Clebsch-Gordan Teoria perturbativa Principio di esclusione di Pauli
QFT · QED · QCD
Fisica
Portale Fisica Glossario Fisico Calendario degli eventi Progetto Fisica

Indice

1 Nota introduttiva
2 Gli stati quantici
- 2.1 Conseguenze
3 Gli osservabili
- 3.1 Conseguenze
4 La probabilità di un risultato
- 4.1 Conseguenze
5 Il collasso della funzione d'onda
- 5.1 Conseguenze
6 L'equazione di Schrödinger
- 6.1 Conseguenze

[modifica] Nota introduttiva

Esistono molte formulazioni equivalenti della meccanica quantistica. Ovvero insiemi diversi di postulati e/o di strumenti matematici che danno luogo alle stesse previsioni e che spiegano in maniera altrettanto soddisfacente le stesse classi di fenomeni. Fra queste possiamo citare la celeberrima formulazione, dovuta a Richard Feynman, tramite gli integrali di cammino o la formulazione di David Bohm o l'interpretazione a Molti Mondi. Esiste tuttavia una formulazione standard, formulata in maniera assiomatica seguendo l'interpretazione di Copenaghen, che viene insegnata comunemente nelle università di tutto il mondo e che forma una base comune ed universalmente riconosciuta per lo studio dei fenomeni quantistici. Gli assiomi o postulati della meccanica quantistica rappresentano una soluzione parziale al 6° problema di Hilbert. Una teoria della gravitazione quantistica potrebbe completare l'assiomatizzazione della fisica conosciuta, sempre considerando che, dato che un sistema fisico può rappresentare l'aritmetica, l'assiomatizzazione sarebbe soggetta ai teoremi di impossibilità di Gödel.

[modifica] Gli stati quantici

Ad ogni sistema fisico si associa uno spazio di Hilbert $\mathcal{H}$ separabile e a infinite dimensioni. In questo spazio a ciascuno stato del sistema è associata una direzione (ovvero un vettore con una costante moltiplicativa arbitraria).
Dato che ogni stato è definito a meno di una costante moltiplicativa arbitraria è possibile (e viene fatto per convenzione) lavorare solo con vettori normalizzati tali che $\left \langle \psi |\psi \right \rangle =1$ . Questo lascia ancora un'arbitrarietà sulla fase del vettore dato che $e^{i \beta} \left |\psi \right \rangle$ e $\left |\psi \right \rangle$ sono equivalenti per ogni $β$ . Se sistema fisico è libero di assumere infinite configurazioni (cosa che capita, ad esempio, ogni volta che esiste un continuo di valori che una certa grandezza può assumere) allora lo spazio di Hilbert che lo rappresenta avrà dimensionalità infinita. Quindi tutti i vettori che lo compongono avranno anch'essi dimensionalità infinita e quindi norma infinita. In questo caso non è possibile procedere alla normalizzazione tramite la semplice moltiplicazione per uno scalare (dovremmo dividere il vettore per infinito) ma si normalizza ogni vettore alla funzione delta di Dirac.

[modifica] Conseguenze

Dato che ogni vettore in $\mathcal{H}$ rappresenta uno stato fisico anche una combinazione lineare di un numero arbitrario di questi rappresenterà uno stato fisico (principio di sovrapposizione).

[modifica] Gli osservabili

A ciascuna grandezza osservabile A è associato un operatore lineare ed autoaggiunto $\hat{A}$ nello spazio $\mathcal{H}$ . L'insieme dei valori possibili per la misura di una grandezza è dato dallo spettro dell'operatore ad essa associato.
La linearità dell'operatore assicura che esso possa essere rappresentato come una matrice (eventualmente infinito dimensionale) in una qualche base, mentre l'autoaggiuntezza assicura che lo spettro dell'operatore sia reale.

Così come è comodo definire funzioni di grandezze, per definire altre grandezze senza doverle definire direttamente, si possono definire matematicamente le funzioni di operatori tramite il loro sviluppo in serie di Taylor (quando questa serie converge, ad esempio $e^{\hat{A}}= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\hat{A}^n}{n !}$ ). Lo sviluppo in serie riconduce il problema delle funzioni di operatori a operazioni di somma e di potenza fra matrici.

[modifica] Conseguenze

Dato che la base in cui rappresentare gli operatori è arbitraria, spesso risulta conveniente scrivere un operatore in una base di suoi autovettori (dove la matrice che lo rappresenta è diagonale). Quando si cerca di misurare contemporaneamente più di una grandezza conviene cercare una base di autovettori comuni a tutti i corrispondenti operatori $\hat{A_1},~\hat{A_2},...$ . Questo però risulta possibile se e solo se questi operatori commutano, ovvero quando valgono le varie uguaglianze $[\hat{A_i},\hat{A_j}]= \hat{A_i}\cdot\hat{A_j} - \hat{A_j}\cdot\hat{A_i} = 0$ .

[modifica] La probabilità di un risultato

Se il sistema fisico si trova in uno stato $\left |\psi \right \rangle$ la probabilità che l'osservazione di una grandezza A dia come risultato $α$ è direttamete proporzionale a $\left | \left \langle \alpha |\psi \right \rangle \right |^2$ .

Una caratteristica peculiare della meccanica quantistica è quella di fornire soltanto predizioni statistiche invece che deterministiche (come invece succede nella meccanica classica). Questo vuol dire che, anche prendendo in considerazione esperimenti ideali, non è mai possibile predire il risultato di una misura. Quello che invece si può sapere è la probabilità di ottenere come risultato $α$ invece di $β$ .
L'unica eccezione, più teorica che pratica, a questa regola è quando il sistema si trova esattamente su di un autostato $\left| \alpha \right \rangle$ della grandezza A che vogliamo osservare. In questo caso la probabilità di ottenere come risultato $α$ è $\left| \left \langle \alpha | \alpha \right \rangle \right|^2 = 1$

[modifica] Conseguenze

In meccanica quantistica, dato che si trattano le probabilità di ottenere i possibili risultati, è naturale utilizzare la normale strumentazione della statistica. In particolare la probabilità che la misurazione di un osservabile dia un risultato qualsiasi deve essere uguale ad uno, ovvero la somma delle probabilità di ottenere ciascuno dei risultati possibili deve essere uguale ad uno: $\sum_i \left | \left \langle \alpha_i |\psi \right \rangle \right |^2 = 1$ .

[modifica] Il collasso della funzione d'onda

La misura dell'osservabile A sullo stato $\left |\psi \right \rangle$ , supponendo di aver ottenuto $α$ come risultato, proietta $\left |\psi \right \rangle$ sull'autospazio di $α$ .

Questo è sicuramente il meno intuitivo ed il più controverso dei postulati della meccanica quantistica. Il semplice atto di misurare una grandezza infatti è capace di cambiare lo stato del sistema da $\left |\psi \right \rangle$ a $\left |\alpha \right \rangle$ .

[modifica] Conseguenze

Per via del postulato sulla probabilità di un risultato la probabilità di ottenere come risultato $α$ dalla misura di $\left |\alpha \right \rangle$ deve essere uguale ad 1. Questo vuol dire che, se misurando $\left |\psi \right \rangle$ ottengo $α$ , questo cambierà lo stato del mio sistema in $\left |\alpha \right \rangle$ e quindi ogni successiva misura (compiuta senza che lo stato evolva) dovrà dare lo stesso risultato con probabilità unitaria.
Un'altra conseguenza importante è che, se due operatori $\hat{A}$ e $\hat{B}$ commutano, è possibile trovare una base di autovettori comune e quindi misure indipendenti di queste due grandezze non si influenzano l'un l'altra. Infatti se misuriamo A su di un sistema nello stato $\left |\psi \right \rangle$ questi verrà proiettato sull'autospazio di A e quindi diventerà della forma $\left |\alpha \right \rangle$ . Se poi si misura indipendentemente anche B lo stato diventerà della forma $\left |\alpha , \beta \right \rangle$ che appartiene sia all'autospazio di A che di B. Una successiva misura di A non potrà portare altro che al risultato $α$ e quindi la misura di B non ha influenzato la misura di A. Questo non è vero per coppie di operatori che non commutano la cui misure (anche ideali ed indipendenti) si influenzano reciprocamente. Il valore minimo di incertezza introdotta nelle misure da questo effetto è data dal principio di indeterminazione di Heisenberg (che, nella formulazione assiomatica della meccanica quantistica, è un teorema).

[modifica] L'equazione di Schrödinger

Per approfondire, vedi la voce Equazione di Schrödinger.

$i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \left|\psi (t)\right\rangle= \hat{H} \left|\psi (t)\right \rangle$ (dove $\hat{H}$ denota l'operatore hamiltoniano del sistema)

L'equazione di Schrödinger descrive l'evoluzione temporale degli stati quantistici sotto l'effetto di un'hamiltoniana $\hat{H}$ arbitraria. È importante ricordare che l'equazione di Schrödinger è non relativistica, per comprendere nella teoria anche gli effetti relativistici è necessario usare l'equazione di Dirac.

[modifica] Conseguenze

L'equazione di Schrödinger è un'equazione differenziale del primo ordine. Questo implica che l'unica condizione al contorno che è necessario conoscere è $\left|\psi (t_0)\right\rangle$ (cioè le condizioni iniziali) ovvero che deve esistere un operatore unitario $\hat{U}(t)$ (detto operatore di evoluzione) tale che $\left|\psi (t)\right\rangle = \hat{U}(t, t_0) \left|\psi (t_0)\right\rangle$ .

Fisica
Acustica \| Astrofisica \| Elettromagnetismo \| Fisica atomica \| Fisica della materia condensata \| Fisica molecolare \| Fisica nucleare e subnucleare \| Fisica delle particelle \| Fisica del plasma \| Fisica teorica \| Meccanica classica \| Meccanica del continuo \| Meccanica quantistica \| Meccanica statistica \| Ottica \| Teoria della relatività \| Teoria delle stringhe \| Teoria quantistica dei campi \| Termodinamica Risorse utili Calendario eventi - Costanti fisiche - Fisici celebri - Glossario fisico - Lista delle particelle - Immagini - Sistemi di misurazione - Storia della fisica - Premi Nobel per la fisica (ordine alfabetico e cronologico) - Unità di misura Categorie: Tutte le voci di fisica - Fisici - Strumenti di misura - Unità di misura - Voci da aiutare Coordinamento: Progetto fisica - Millibar - Portale della fisica

Fisica