Moto armonico quantistico

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Indice

1 Oscillatore armonico quantistico
2 Metodo analitico
3 Metodo algebrico
- 3.1 Operatori di creazione e di distruzione
4 Commenti sullo stato fondamentale
5 Legame tra metodo analitico e metodo algebrico
6 Note
7 Voci correlate

[modifica] Oscillatore armonico quantistico

Risolvere un sistema in meccanica quantistica significa trovare gli stati dell'hamiltoniana ed i corrispondenti valori dell'energia, oppure risolvere l'equazione di Schrödinger e trovare la funzione d'onda che descrive il sistema.

Secondo il principio di corrispondenza, come nel caso classico l'hamiltoniana del sistema vale:

$\hat{H} = \frac{\hat{p^{2}}}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^{2} \hat{x^{2}}$

Dove abbiamo supposto che il sistema sia unidimensionale.

Nel caso di un sistema tridimensionale, l'hamiltoniana totale si può scindere in somma di tre hamiltoniane indipendenti, una per ogni dimensione.

Esistono due modi per risolvere questo sistema: uno analitico, che si basa sulla soluzione della equazione di Schrödinger ed uno algebrico, che si basa esclusivamente sull'algebra degli operatori $\hat{p}$ ed $\hat{x}$ (vedi commutatore), metodo messo a punto da Dirac.

[modifica] Metodo analitico

L'equazione di Schrödinger per l'oscillatore armonico è:

$\frac{d^{2} \phi}{dx^{2}} = - \frac{2 m}{\hslash^{2}} \left( E - {1 \over 2} m \omega^{2}x^{2} \right)\phi (x)$

Introduciamo due variabili adimensionali:

$\xi = \left( \frac{m \omega}{\hslash} \right)^{{1 \over 2}} x \qquad \qquad \qquad \epsilon = \frac{2E}{\hslash \omega}$

Sostituendo nell'equazione di Schrödinger si ha:

$\frac{d^{2} \phi}{d \xi^{2}} = (\xi^{2} - \epsilon) \phi(\xi)$

Per valori di $ξ$ grandi, tali da poter trascurare $ε$ , l'andamento asintotico della funzione deve essere del tipo:

$\phi(\xi) \sim \xi^{n} e^{\pm {\xi^{2} \over 2}}$

Il segno + deve essere scartato in quanto le soluzioni non sarebbero normalizzabili¹, per cui:

$\phi(\xi) \sim \xi^{n} e^{-{\xi^{2} \over 2}}$

Poniamo, quindi:

$\phi(\xi) = H(\xi) e^{-{\xi^{2} \over 2}}$

Dove, sostituendo, si ottiene per $H (ξ)$ , la seguente equazione:

$H^{\prime \prime}(\xi) - 2 \xi H^{\prime}(\xi) + (\epsilon - 1) H(\xi) = 0$

Per avere la soluzione generale, espandiamo in serie di potenze la funzione $H (ξ)$ :

$\sum_{n=0}^{\infty} A_{n} \xi^{n}$

Sostituendo nell'equazione differenziale e raggruppando i termini con potenze uguali si ottiene che:

$\sum_{n=0}^{\infty} [(n+2)(n+1) A_{n+2} + (\epsilon - 2n - 1) A_{n}] \xi^{n} = 0$

E affinché questo sia vero tutti i coefficienti devono essere nulli:

$(n+2)(n+1) A_{n+2} + (\epsilon - 2n - 1) A_{n} = 0 \,$

Una volta noti $A 0$ ed $A 1$ da questa euqazione si possono ottenere tutti gli altri coefficienti $A n$ .

In particolare si ha:

$\frac{A_{n+2}}{A_{n}} \rightarrow \frac{2}{n}$

Per cui da un certo punto in poi questa serie si comporta come la serie:

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\xi^{2n}}{n!} = e^{\xi^{2}}$

e la funzione d'onda si comporta come:

$\phi(\xi) \sim e^{+\xi^{2}} e^{-\frac{\xi^{2}}{2}} = e^{+\frac{\xi^{2}}{2}}$

Come già detto una funzione d'onda di questo tipo non è normalizzabile, per cui l'unico modo per avere soluzioni fisicamente accettabili è che lo sviluppo in serie di $H (ξ)$ sia finito, e che esso sia, in altri termini un polinomio. Affinché questo avvenga si deve avere:

$\epsilon = 2n + 1 \,$

dove n è un intero positivo o nullo. Le energie sono, quindi, quantizzate e valgono:

$E_{n} = \hslash \omega \left( n + \frac{1}{2} \right)$

La funzione d'onda dello stato n è, quindi:

$\phi(\xi) = H_{n}(\xi) e^{-\frac{\xi^{2}}{2}}$

Dove gli $H n (ξ)$ sono i polinomi di Hermite.

Sebbene normalizzabili queste funzioni non sono a norma unitaria, mentre, in genere gli stati in meccanica quantistica vengono scelti a norma unitaria. Quello che si fa è di inserire una costante moltiplicativa $C n$ , in generale dipendente dal livello, per assicurare la norma unitaria.

In particolare le funzioni dello stato fondamentale e del primo livello eccitato valgono:

$\phi_{0}(\xi) = \left( \frac{m \omega}{\pi \hslash} \right)^{{1 \over 4}} e^{-\frac{\xi^{2}}{2}}$

$\phi_{1}(\xi) = \left[ \frac{4}{\pi} \left( \frac{m \omega}{\hslash^{7}} \right) \right]^{{1 \over 4}}\xi e^{-\frac{\xi^{2}}{2}}$

[modifica] Metodo algebrico

Per semplicità, da qui in poi, sebbene sia uso indicare gli operatori con un cappelletto, indicherò gli operatori senza questo segno di distinzione, poiché non c'è alcun problema di ambiguità.

Si definiscono, prima di tutto, due nuovi operatori adimensionali $\tilde{x}$ e $\tilde{p}$ , nel modo seguente:

$\tilde{x} = \sqrt{\frac{m \omega}{\hslash}} x$

$\tilde{p} = \sqrt{\frac{1}{m \hslash \omega}} p$

L'hamiltoniana H del sistema si potrà scrivere come:

$H = \hslash \omega \tilde{H}$

dove:

$\tilde{H} = \frac{1}{2} (\tilde{x}^{2} + \tilde{p}^{2})$

Il commutatore tra $\tilde{p}$ e tra $\tilde{x}$ vale:

$[\tilde{x}, \tilde{p}] = i$

Si introducono, poi, altri due operatori $a$ ed $a +$ , definiti nel modo seguente:

$a = \frac{1}{\sqrt{2}} (\tilde{x} + i \tilde{p})$

$a^{+} = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \tilde{x} - i \tilde{p})$

L'operatore $a$ viene chiamato operatore di distruzione, mentre l'opratore $a +$ viene chiamato operatore di creazione.

Possiamo calcolare il prodotto tra $a$ ed $a +$ :

$a^{+} a = \frac{1}{2} (\tilde{x} - i \tilde{p}) (\tilde{x} + i \tilde{p}) = \frac{1}{2} (\tilde{x}^{2} + \tilde{p}^{2} + i (\tilde{x} \tilde{p} - \tilde{p} \tilde{x}))$

ma:

$\tilde{x} \tilde{p} - \tilde{p} \tilde{x} = [\tilde{x}, \tilde{p}] = i$

quindi si può scrivere l'hamiltoniana in funzione di $a$ ed $a +$ come²:

$\tilde{H} = a^{+} a + \frac{1}{2}$

Si può introdurre ancora un nuovo operatore, detto operatore numero $N$ , così definito:

$N = a^{+} a \,$

e l'hamiltoniana diventa, allora:

$H = \hslash \omega \left(N + \frac{1}{2}\right)$

Adesso abbiamo tutti gli elementi in mano per risolvere il sistema.

Come detto nell'introduzione dobbiamo trovare gli stati del sistema e i valori dell'energia.

Supponiamo che $|\nu \rangle$ sia uno stato del sistema con energia $E ν$ , si deve, quindi, risolvere l'equazione³:

$H |\nu \rangle = E_{\nu} |\nu \rangle$

e per fare questo dobbiamo trovare gli autostati dell'operatore $N$ :

$N |\nu \rangle = \nu |\nu \rangle$

Per trovare i valori possibili di $ν$ si devono dimostrare alcune proprietà.

Teorema 1

I valori propri dell'operatore $N$ sono positivi o nulli.

L'equazione precedente si può scrivere, esplicitando $N$ :

$a^{+} a |\nu \rangle = \nu |\nu \rangle$

Proiettando sullo stato $|\nu \rangle$ si ha:

$\langle \nu| a^{+} a |\nu \rangle = \nu \langle \nu|\nu \rangle = \nu$

In quanto gli stati di un sistema hanno norma unitaria per definizione.

Ma si ha anche:

$\langle \nu| a^{+} a |\nu \rangle = (a|\nu \rangle)^{+} (a|\nu \rangle) = |(a|\nu \rangle)|^{2}$

Quindi:

$\nu = |(a|\nu \rangle)|^{2}$

Quindi, per definizione della norma di un vettore si ha che $ν$ ≥0. CVD

Teorema 2

Se $|\nu \rangle$ è un autostato di $N$ di autovalore $ν$ , allora $a |\nu \rangle$ è un autostato di $N$ di autovalore $ν - 1$ .

Si ha:

$N a |\nu \rangle = (a^{+} a) a |\nu \rangle$

Ma, usando la relazione di commutazione di $a$ ed $a +$ si ottiene che:

$a^{+} a = a a^{+} - 1 \,$

Per cui, sostituendo:

$N a |\nu \rangle = (a a^{+} - 1) a |\nu \rangle = a (a^{+}a - 1) |\nu \rangle = a (N - 1) |\nu \rangle = (\nu - 1) a |\nu \rangle$

CVD.

Teorema 3

Se $|\nu \rangle$ è autostato di $N$ con autovalore $ν$ , allora $a^{+} |\nu \rangle$ è autostato di $N$ con autovalore $ν + 1$ .

Si ha:

$N a^{+} |\nu \rangle = (a^{+} a) a^{+} |\nu \rangle = a^{+} (a a^{+}) |\nu \rangle = a^{+} (1 + a a^{+}) |\nu \rangle = a^{+} (1 + N) |\nu \rangle = (1 + \nu) a^{+} |\nu \rangle$

CVD

Con l'aiuto di questi teoremi possiamo trovare gli autovalori di $N$ . Supponiamo che l'autovalore $ν$ sia positivo, non nullo e non intero e sia n la parte intera di $ν$ .

Lo stato $a |\nu \rangle$ è un autostato con autovalore $ν - 1$ , lo stato $a^{2} |\nu \rangle$ è un autostato con autovalore $ν - 2$ ,..., lo stato $a^{n} |\nu \rangle$ è un autostato con autovalore $ν - n$ , numero che è compreso tra 0 ed 1.

Applicando un'altra volta l'operatore $a$ si ottiene lo stato $a^{n+1} |\nu \rangle$ , di autovalore $ν - n - 1$ , numero che è negativo. Questo va contro il teorema 1, secondo il quale gli autovalori di $N$ sono positivi o nulli, quindi il numero $ν$ deve essere intero (positivo o nullo, per il teorema 1), in modo tale che il vettore $a^{n} |\nu \rangle$ sia il vettore nullo e che il vettore $a^{n+1} |\nu \rangle$ non esista.

Poiché a partire da un autostato $|m \rangle$ qualsiasi si può ottenere un qualsiasi altro autostato, tramite opportuna applicazione degli operatori $a$ ed $a +$ , segue che gli autovalori di $N$ sono tutti i numeri naturali.

Ma gli autovalori di $N$ sono anche quelli di H, per cui le energie degli autostati dell'oscillatore armonico sono quantizzate e valgono:

$E_{\nu} = \left( n + {1 \over 2} \right) \hslash \omega$

e gli autostati dell'energia sono gli autostati $|\nu \rangle$ dell'operatore numero.

Si noti che sebbene l'oscillatore armonico è un sistema oscillante gli autostati dell'operatore numero (e quindi dell'energia) sono stati stazionari, cioè non evolvono nel tempo.

[modifica] Operatori di creazione e di distruzione

Vediamo adesso come agiscono gli operatori di creazione e di distruzione $a$ ed $a +$ .

Dal teorema 2 sappiamo che lo stato $a |n \rangle$ è un autostato di $N$ con autovalore $n - 1$ , e supponendo che i livelli di energia dell'oscillatore unidimensionale non siano degeneri⁴, si ha che:

$a |n \rangle = k |n-1 \rangle$

La norma di questo vettore vale n⁵, quindi:

$k = \sqrt{n}$

$a |n \rangle = \sqrt{n} |n-1 \rangle$

In modo assolutamente identico si può mostrare che:

$a^{+} |n \rangle = \sqrt{n+1} |n+1 \rangle$

Si comprende, quindi, la terminologia introdotta da Dirac: l'operatore $a$ fa passare il sistema dallo stato di energia n allo stato di energia n-1, esso, quindi, distrugge un quanto di energia; analogamente l'operatore $a +$ fa passare i sistema dallo stato di energia n allo stato di energia n+1, esso, quindi, crea un quanto di energia.

Noto lo stato fondamentale, si può ottenere, per ricorrenza, tutta la base degli autostati di $N$ :

$|n \rangle = \frac{(a^{+})^{n}}{\sqrt{n!}} |0 \rangle$

[modifica] Commenti sullo stato fondamentale

Abbiamo dimostrato che l'energia di uno stato $|n \rangle$ generico vale:

$E_{n} = \left( n + \frac{1}{2} \right) \hslash \omega$

Per cui l'energia dello stato fondamentale vale:

$E_{0} = \frac{1}{2} \hslash \omega$

Contrariamente al caso classico l'energia dello stato fondamentale non è nulla e questo è in totale accordo con il principio di indeterminazione di Heisenberg.

Mettiamoci in un ottica semiclassica. Ricordiamo che il principio di indeterminazione dice che:

$\Delta x \Delta p \ge {1 \over 2} \hslash$

che, per lo stato fondamentale dell'oscillatore armonico vale con il segno uguale (minima indeterminazione).

Il valore medio dell'hamiltoniana è dato da:

$\langle H \rangle = \frac{\langle p^{2} \rangle}{2 m} + {1 \over 2} m \omega^{2} \langle x^{2} \rangle$

e dal principio di indeterminazione si ricava che:

$\langle p^{2} \rangle = \frac{\hslash^{2}}{4 \langle x^{2} \rangle}$

Sostituendo nel valore medio dell'hamiltoniana si ottiene:

$\langle H \rangle = \frac{\hslash^{2}}{8 m \langle x^{2} \rangle} + {1 \over 2} m \omega^{2} \langle x^{2} \rangle$

il minimo di questa espressione (ciò che equivale a mettersi nello stato fondamentale) si ha per:

$\langle x^{2} \rangle = \frac{\hslash}{2 m \omega}$

Valore per il quale si ha:

$\langle H \rangle = {1 \over 2} \hslash \omega$

Ovvero l'energia dello stato fondamentale.

[modifica] Legame tra metodo analitico e metodo algebrico

Per trovare il legame tra il metodo analistico e quello algebrico si deve usare l'espressione esplicita degli operatori $a$ ed $a +$ , in rappresentazione r.

Cominciamo dallo stato fondamentale, usando la relazione:

$a |0 \rangle = 0$

ovvero:

$\left( \sqrt{\frac{m \omega}{\hslash}} x + \hslash \frac{1}{\sqrt{m \omega \hslash}} \frac{d}{dx} \right) \phi_{0}(x) = 0$

Esplicitando e rimaneggiando un po' l'espressione:

$\frac{m \omega}{\hslash} x \phi_{0} (x) + \frac{d}{dx} \phi_{0} (x) = 0$

La soluzione di questa equazione è un esponenziale:

$\phi_{0} (x) = \left( \frac{m \omega}{\pi \hslash} \right)^{\frac{1}{4}} e^{- \frac{m \omega}{\hslash} \frac{x^{2}}{2}}$

Le funzioni che descrivono gli altri stati si trovano per ricorrenza, tramite applicazione dell'operatore $a +$ , espresso in termini di $x$ e $p$ alla funzione dello stato fondamentale $φ 0 (x)$ .

Come si vede, quindi in entrambi i metodi si trova che l'energia è quantizzata, e che assume dei valori dipendenti dal numero quantico n del livello del sistema.

Le espressioni dell'energia sono identiche in entrambi i casi e le funzioni d'onda che si trovano sono le stesse: i due metodi, quindi, sono completamente equivalenti ed usare l'uno o l'altro per risolvere il sistema dipende dal gusto personale.

[modifica] Note

¹Per norma si intende in questo caso il seguente integrale:

$\int_{-\infty}^{+\infty} \phi^{2}(\xi) d\xi$

Ovviamente, poiché si ha:

$\lim_{\xi \to \pm \infty} e^{\xi^{2}} = \infty$

l'integrale non converge, mentre si ha:

$\lim_{\xi \to \pm \infty} \xi^{n} e^{-\xi^{2}} = 0$

e quindi l'integrale della norma converge. Anche intuitivamente è difficile supporre che una particella tenda ad allontanarsi dall'origine quando c'è una forza di richiamo che tende a farla ritornare al punto di partenza.

² Espressioni del tipo:

$a^{+} a + \frac{1}{2}$

vanno intese evidentemente come:

$a^{+} a + \frac{1}{2} I$

dove $I$ è l'operatore identità, ma, per alleggerire la notazione, normalmente, si omette di indicare questo operatore.

³ In pratica si devono trovare gli autostati e gli autovalori dell'operatore H.

⁴ Ciò vuol dire che ad ogni valore di energia corrisponde un solo stato quantistico. Si noti che questo è vero solo nel caso dell'oscillatore in una dimensione, gli stati dell'energia nell'oscillatore a due o a tre dimensioni sono degeneri.

⁵ Vedi la dimostrazione del teorema 1.