Equazione di Schrödinger

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L'equazione di Schrödinger è una delle più importanti scoperte della fisica ed in particolare della meccanica quantistica. Quest'ultima, risalente alla metà degli anni Venti, ha preso due direzioni principali: una, battuta da Heisenberg, Bohr, Jordan, che si basa sull'approccio matriciale, l'altra, sviluppata soprattutto da de Broglie e Schrödinger, si basa sull'approccio ondulatorio. In questa seconda visione si rappresentano le particelle attraverso le così dette funzioni d'onda, poiché le evidenze sperimentali (vedi, ad esempio, l'esperimento di Davisson e Germer) confermavano che a volte anche le particelle posseggono comportamenti ondulatori.

Era pertanto necessario avere a disposizione un'equazione che fosse in grado di descrivere come evolveva nel tempo la funzione d'onda di una particolare particella. Nasce, così, l'equazione di Schrödinger, che nella sua forma più compatta e indipendente dal tempo può essere scritta come segue:

H ψ = E ψ

dove $H$ è l'hamiltoniana, $E$ l'energia della particella o del sistema quantistico e $ψ$ la funzione d'onda.

Nella sua forma più semplice, ovvero per una particella libera (assenza di potenziale), essa è rappresentata, "in una dimensione", da

$- \frac {\hbar^2}{2m} \frac {\partial^2}{\partial x^2} \psi = i \hbar \frac {\partial}{\partial t} \psi$

dove $i$ è l'unità immaginaria, $\hbar$ è la costante di Planck, il primo termine è l'hamiltoniana (o operatore hamiltoniano) e il secondo l'energia. In generale, per ottenere da un'equazione classica l'analoga quantistica, bisogna operare le seguenti sostituzioni:

$E \rightarrow i \hbar \frac {\partial}{\partial t}$

$p \rightarrow -i \hbar \frac {\partial}{\partial x}$

Per i dettagli si veda l'articolo sulla regola di quantizzazione di Dirac.

In presenza di un potenziale, l'hamiltoniano sarà scritto come segue:

$H = - \frac {\hbar^2}{2m} \frac {\partial^2}{\partial x^2} + V(x)$

e quindi

$i \hbar \frac {\partial}{\partial t} \psi = H \psi$

che nella notazione bra-ket diventa:

$i \hbar \frac {\partial}{\partial t} \left| \psi \right\rangle = \hat H \left| \psi \right\rangle$

Indice

1 Significato della funzione d'onda
2 L'operatore di evoluzione
- 2.1 L'operatore di evoluzione della particella libera
3 Evoluzione relativistica

[modifica] Significato della funzione d'onda

La funzione d'onda, come detto, è un simbolismo matematico che serve a descrivere la particella: determinare la sua forma vuol dire risolvere l'equazione di Schrödinger e quindi studiare il suo moto. Essa, però, ha un particolare significato: detta anche ampiezza di probabilità, il suo modulo quadro è interpretato come densità di probabilità, mentre la probabilità che la particella o il sistema in esame si trovi in una certa porzione di spazio d³x al tempo dt, sarà descritta dalla seguente scrittura:

$\left | \psi \left ( \vec x, t \right ) \right |^2 \operatorname d^3 x \operatorname d t$

Se si esclude il dt si ha, invece, la probabilità di trovare il sistema in quella porzione di spazio ma in un tempo qualsiasi.

La normalizzazione della funzione d'onda sarà quindi data da:

$\int_V \left | \psi \left ( \vec x, t \right ) \right |^2 \operatorname d^3 x = 1$

che è la probabilità totale di trovare la particella nello spazio in un qualsiasi istante: e questa deve essere 1 per definizione di probabilità.

[modifica] L'operatore di evoluzione

L'equazione di Schrödinger è un'equazione differenziale del primo ordine rispetto al tempo. Questo implica che l'unica condizione al contorno che è necessario conoscere è $\left|\psi (t_0)\right\rangle$ ovvero che deve esistere un operatore unitario $\hat{U}(t)$ (detto operatore di evoluzione) tale che $\left|\psi (t)\right\rangle = \hat{U}(t, t_0) \left|\psi (t_0)\right\rangle$ .
L'unitarietà dell'operatore di evoluzione assicura che la norma delle funzioni d'onda si mantenga durante il moto ovvero che $\left \| \left| \psi \left ( t \right ) \right \rangle \right \| ^2 = \left \| \left| \psi \left ( t_0 \right ) \right \rangle \right \| ^2$ .
Nel caso in cui l'hamiltoniana sia indipendente dal tempo è possibile scrivere l'operatore di evoluzione in una forma compatta. Infatti, risolvendo il problema agli autovalori $\hat{H} \left| E \right \rangle = E \left| E \right \rangle$ , è possibile riscrivere ψ sulla base degli autovettori dell'energia come $\left| \psi \right \rangle = \sum a_E \left ( t \right ) \left| E \right \rangle$ . Sostituendo questa relazione nell'equazione di Schrödinger si ottiene $i \hbar \dot a_E \left ( t \right ) \left| E \right \rangle = a_E \left ( t \right ) E \left| E \right \rangle$ . Questa equazione differenziale può essere risolta ed ha come risultato $a_E \left ( t \right ) = e^{- \frac{i}{\hbar} E \left ( t-t_0 \right )} a_E \left ( t_0 \right )$ . Questo risultato può essere riscritto come $\left| \psi \left ( t \right ) \right \rangle = e^{- \frac{i}{\hbar} \hat{H} \left ( t-t_0 \right )} \left| \psi \left ( t_0 \right ) \right \rangle$ e quindi otteniamo il risultato finale:
$\hat{U}(t, t_0) = e^{- \frac{i}{\hbar} \hat{H} \left ( t-t_0 \right )}$ .

[modifica] L'operatore di evoluzione della particella libera

L'hamiltoniana che descrive una particella libera è $\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m}$ e quindi possiamo scrivere direttamente che il suo operatore di evoluzione è $\hat{U}(t, t_0) = e^{- \frac{i}{\hbar} \frac{\hat{p}^2 \left( t-t_0 \right)}{2m}}$ . Per riscrivere questo risultato in funzione della posizione e non del momento dobbiamo passare attraverso una anti-trasformata di Fourier:

$\hat{U}(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int_{\infty}^{- \infty} e^{\frac{i}{\hbar} px} e^{- \frac{i}{\hbar} \frac{\hat{p}^2}{2m}} dp = \sqrt{\frac{m}{i t}} e^{\frac{i m x^2}{2 \hbar t}}$ .

[modifica] Evoluzione relativistica

Per approfondire, vedi la voce Teoria quantistica dei campi.

L'equazione di Schrödinger, però, non rappresenta le particelle che si muovono a velocità ed energia relativistica. Risultò, pertanto, fondamentale introdurre anche il formalismo della relatività speciale, che portò alle due equazioni di Klein Gordon e di Dirac, che rappresentano, rispettivamente, particelle a spin 0 (dette anche particelle scalari) e particelle a spin $\frac{1}{2}$ .

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