Schrödingervergelijking

De Schrödingervergelijking is de basisformule van de kwantumtheorie.

In de kwantumtheorie wordt uitgegaan van de tweeledigheid van alle materie. Dat wil zeggen dat deeltjes altijd een golfkarakter met zich meedragen en golven omgekeerd altijd een deeltjeskarakter hebben. De Schrödingervergelijking, die daarom ook wel golfvergelijking genoemd wordt, beschrijft de tijdsafhankelijkheid van een kwantumsysteem door de differentiaalvergelijking:

,

waarin ψ de golffunctie is die het systeem beschrijft en H de Hamiltoniaan van het systeem is, een operator die de totale energie van het systeem voorstelt. De constante is de gereduceerde constante van Planck.

Het is een wiskundige formule die gebruik maakt van een golffunctie ψ waarmee de kansdichtheid om een golfdeeltje aan te treffen in een bepaald klein volume-element in een krachtenveld te bepalen valt. De vergelijking wordt vooral gebruikt om de elektronenbanen rond een atoomkern te berekenen.

De basis voor de vergelijking is de wet van behoud van energie, die stelt dat de totale energie E de som is van de kinetische energie T en de potentiële energie V:

E = T + V

Deze wet geldt zowel voor deeltjes als golven in de klassieke mechanica. Vermenigvuldigd met ψ krijgen we

EΨ = (T + V)Ψ

Voor een golf bestond al een uitdrukking die het mogelijk maakt de kinetische energie uit te drukken met behulp van tweede afgeleiden van een functie die de golf beschrijft:

Deze uitdrukking wordt een operator genoemd omdat vermenigvulding ermee inhoudt dat een bepaalde bewerking (operatie) op de golffunctie uitgevoerd moet worden. In de golfmechanica spelen dergelijke operatoren een bijzonder grote rol. Zij stellen ons namelijk in staat uit een golffunctie , die we ons als een soort trillingspatroon kunnen voorstellen , bepaalde eigenschappen te berekenen, in dit geval de kinetische energie.

De operator T werd oorspronkelijk alleen voor golven toegepast. Het tweeledigheidsprincipe dat stelt dat deeltjes en golven twee manifestaties van hetzelfde zijn is nu eenvoudig wiskundig vorm te geven door de operator T in de algemene uitdrukking voor E in te vullen.

Als de totale energie E van het systeem constant is, dat wil zeggen dat het 'trillingspatroon' ψ niet met de tijd verandert, luidt de Schrödingervergelijking na invulling van bovenstaande operator T:

Het is ook mogelijk veranderingen van golffunctie met de tijd te beschrijven. In zijn tijdsafhankelijke vorm wordt de vergelijking:

Opnieuw is hier sprake van het inbrengen van een operator:

De golfmechanische opvatting van materie die heeft geleid tot deze vergelijking in 1927 is ontwikkeld door en genoemd naar de Oostenrijkse natuurkundige Erwin Schrödinger.

De Schrödingervergelijking is een differentiaalvergelijking en dat wil zeggen dat er slechts bepaalde golffuncties ψ zijn die eraan voldoen. Welke functies dat zijn wordt in belangrijke mate bepaald door hoe de potentiële energie V eruit ziet als functie van de coördinaten x,y,z van de ruimte.

V(x,y,z) wordt bepaald door de wisselwerking van het systeem (bijvoorbeeld een elektron) met zijn naaste omgeving. Het elektron wordt bijvoorbeeld aangetrokken door een positief geladen atoomkern maar juist weer afgestoten door andere elektronen. Afhankelijk van hoe ingewikkeld dit patroon van wisselwerkingen is, is het mogelijk bij grotere of minder grote benadering te berekenen wat voor functies ψ er aan de Schrödingervergelijking voldoen. Zijn de golffuncties eenmaal bekend dan kunnen daaruit middels operatoren allerlei eigenschappen berekend worden.

De golffunctie die resulteren uit deze berekeningen geven niet aan waar het elektron zich op elk ogenblik bevindt, maar leveren alleen algemene informatie over de trefkans of de waarschijnlijkheid om dit elektron op een bepaalde plaats (orbitalen) in het atoom te treffen.