Équation de Schrödinger

L'équation de Schrödinger (le ö se prononce « eu »), conçue par le physicien autrichien Erwin Schrödinger en 1925, est une équation fondamentale en physique quantique. Elle décrit l'évolution dans le temps d'un système et remplit ainsi le même rôle que la relation fondamentale de la dynamique en mécanique classique.

Sommaire

1 Naissance de l'équation
2 Énoncé de l'équation
3 Résolution de l'équation
- 3.1 Recherche des états propres
- 3.2 Rareté d'une résolution analytique exacte
4 Généralisation de l'équation
5 Voir aussi
- 5.1 Bibliographie
- 5.2 Liens internes

[modifier] Naissance de l'équation

Au début du XX^e siècle, il était devenu clair que la lumière présente une dualité onde-corpuscule, c'est-à-dire qu'elle pouvait se manifester, selon les circonstances, soit comme une particule, le photon, soit comme une onde électromagnétique. Louis de Broglie proposa de généraliser cette dualité à toutes les particules connues bien que cette hypothèse eût pour conséquence paradoxale que les électrons devaient pouvoir produire des interférences comme la lumière, ce qui fut vérifié ultérieurement par l'expérience. Par analogie avec le photon, Louis de Broglie associa ainsi à chaque particule libre d'énergie $E$ et de quantité de mouvement $p$ une fréquence $ν$ et une longueur d'onde $λ$ :

$\left\{\begin{matrix}E=h\nu\\p=h/\lambda\end{matrix}\right.$ .

L'équation de Schrödinger, trouvée par le physicien éponyme Erwin Schrödinger en 1925, est une équation d'onde qui généralise l'approche de de Broglie ci-dessus aux particules en présence d'un potentiel, dont l'énergie non-relativiste totale est :

$E = {p^2\over 2m}+ V(r)$ .

Le succès de l'équation, déduite de cette extension par utilisation du principe de correspondance, fut immédiat quant à l'évaluation des niveaux quantifiés d'énergie de l'électron dans l'atome d'hydrogène, car elle permit d'expliquer les raies d'émission de l'hydrogène : séries de Lyman, Balmer, Bracket, Paschen, etc. Toutefois, elle suscita également beaucoup de méfiance en raison du caractère probabiliste qu'elle introduisait.

[modifier] Énoncé de l'équation

En mécanique quantique, l'état à l'instant t d'un système est décrit par un élément $\left| \Psi (t)\right\rangle$ de l'espace complexe de Hilbert — est utilisée la notation bra-ket de Paul Dirac. $\left| \Psi (t)\right\rangle$ représente les probabilités de résultats de toutes les mesures possibles d'un système.

L'évolution temporelle de $\left| \Psi (t)\right\rangle$ est décrite par l'équation de Schrödinger :

$\mathbf{\hat{H}} \left| \Psi (t)\right\rangle = i \hbar {d\over dt} \left| \Psi (t) \right\rangle = \frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m}\left| \Psi (t)\right\rangle + V(\hat{\mathbf{r}},t)\left| \Psi (t) \right\rangle$

où

$i\,$ est l'unité imaginaire ;
$\hbar\,$ est la constante de Planck réduite (h/2π) ;
$\hat{H}\,$ est l'hamiltonien, dépendant du temps en général, l'observable correspondant à l'énergie totale du système ;
$\hat{\mathbf{r}}\,$ est l'observable position ;
$\hat{\mathbf{p}}\,$ est l'observable impulsion.

Il est à noter que, contrairement aux équations de Maxwell gérant l'évolution des ondes électromagnétiques, l'équation de Schrödinger est non relativiste. Notons également que cette équation ne se démontre pas : c'est un postulat. Elle a été supposée correcte après que Davison et Germer eurent confirmé expérimentalement l'hypothèse de Louis de Broglie.

[modifier] Résolution de l'équation

L'équation de Schrödinger étant une équation vectorielle on peut la réécrire de façon équivalente dans une base particulière de l'espace des états. Si on choisit par exemple la base $\left|\vec{r}\right\rangle$ correspondant à la représentation de position définie par

$\hat{\mathbf{r}}\left|\vec{r}\right\rangle=\vec{r}\left|\vec{r}\right\rangle$

alors la fonction d'onde $\Psi (t,\vec{r})\equiv\left\langle\vec{r}\right|\left.\Psi(t)\right\rangle\,$ satisfait à l'équation suivante

$i\hbar{\partial\Psi(t,\vec{r})\over\partial t}=-{\hbar^2\over 2m}\overrightarrow{\nabla}^2\Psi(t,\vec{r})+V(\vec{r},t)\Psi(t,\vec{r})$

où $\overrightarrow{\nabla}^2\,$ est le laplacien.

Sous cette forme on voit que l'équation de Schrödinger est une équation aux dérivées partielles faisant intervenir des opérateurs linéaires, ce qui permet d'écrire la solution générique comme somme de solutions particulières. L'équation est dans la grande majorité des cas trop compliquée pour admettre une solution analytique de sorte que sa résolution est approchée et/ou numérique.

[modifier] Recherche des états propres

Les opérateurs apparaissant dans l'équation de Schrödinger sont des opérateurs linéaires ; il s'ensuit que toute combinaison linéaire de solutions est solution de l'équation. Cela mène à favoriser la recherche de solutions qui ont un grand intérêt théorique et pratique : à savoir les états qui sont propres de l'opérateur hamiltonien.

Ces états sont donc solutions de l'équation aux états et valeurs propres,

$H|\varphi_{n}>=E_{n}|\varphi_{n}>$

qui porte parfois le nom d'équation de Schrödinger indépendante du temps. L'état propre $|\varphi_{n}>$ est associé à la valeur propre $E n$ , scalaire réel, énergie de la particule dont $|\varphi_{n}>$ est l'état.

Les valeurs de l'énergie peuvent être discrètes comme les solutions liées d'un puits de potentiel (par ex. niveaux de l'atome d'hydrogène) ; il en résulte une quantification des niveaux d'énergie. Elles peuvent aussi correspondre à un spectre continu comme les solutions libres d'un puits de potentiel (par ex. un électron ayant assez d'énergie pour s'éloigner à l'infini du noyau de l'atome d'hydrogène).

Il arrive souvent que plusieurs états $|\varphi_{n}>$ correspondent à une même valeur de l'énergie : l'on parle alors de niveaux d'énergie dégénérés.

D'une façon générale, la détermination de chacun des états propres de l'hamiltonien, $|\varphi_{n}>$ , et de l'énergie associée, fournit l'état stationnaire correspondant, solution de l'équation de Schrödinger :

$|\psi_{n}(t)>=|\varphi_{n}>\exp(-iE_{n}t/\hbar).$

Une solution de l'équation de Schrödinger peut alors s'écrire très généralement comme une combinaison linéaire de tels états :

$|\psi(t)>=\sum_{n}\sum_{i} c_{n,i}|\varphi_{n,i}>\exp(-iE_{n}t/\hbar),$

l'indice i se rapportant à la description de la dégénérescence du niveau n.

Selon les postulats de la mécanique quantique,

le scalaire complexe $c n, i$ est l'amplitude de l'état $| ψ (t) >$ sur l'état $|\varphi_{n,i}>$ ;
le réel $Σ i | c n, i | 2$ est la probabilité (dans le cas d'un spectre discret) de trouver l'énergie $E n$ lors d'une mesure de l'énergie sur le système.

[modifier] Rareté d'une résolution analytique exacte

La recherche des états propres de l'hamiltonien est en général complexe. Même le cas analytiquement soluble de l'atome d'hydrogène ne l'est rigoureusement sous forme simple que si l'on néglige le couplage avec le champ électromagnétique qui va permettre le passage des états excités, solutions de l'équation de Schrödinger de l'atome, vers le fondamental.

Certains modèles simples, bien que non tout à fait conformes à la réalité, peuvent être résolus analytiquement et s'avèrent très utiles :

particule libre (potentiel nul) ;
oscillateur harmonique (potentiel quadratique) ;
particule se déplaçant sur un anneau ;
particule dans un puits de potentiel rectangulaire ;
particule dans un guide d'onde annulaire ;
particule dans un potentiel à symétrie sphérique ;
particule dans un réseau unidimensionnel (potentiel périodique).

Dans les autres cas, il faut faire appel aux diverses techniques d'approximation numérique, notamment la théorie des perturbations.

[modifier] Généralisation de l'équation

La généralisation au domaine relativiste mena à l'équation de Klein-Gordon, puis à l'équation de Dirac ; cette dernière établit l'existence du spin et des antiparticules.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Bibliographie

Erwin Schrödinger, « An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules », Phys. Rev. 28, 1049 (1926) [(en)lire en ligne]

[modifier] Liens internes

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