Notazione bra-ket

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La notazione bra-ket è una notazione usata in meccanica quantistica per descrivere uno stato quantistico. Essa può essere usata anche più in generale in matematica per denotare vettori astratti in uno spazio funzionale lineare. Il nome deriva dal fatto che il prodotto scalare di due stati è denotato con una bracket, $\langle\phi|\psi\rangle$ , consistente in due parti, la sinistra $\langle\phi|$ chiamata bra, e la parte destra $|\psi\rangle$ , chiamata ket. La notazione fu introdotta da Paul Dirac, ed è anche conosciuta come notazione di Dirac.

Partendo dall'ampiezza di probabilità di un certo evento, solitamente un numero complesso, essa scinde i vettori di stato. Ad esempio $\left\langle \psi | \varphi \right\rangle$ rappresenta l'ampiezza di probabilità che partendo da uno stato φ si arrivi ad uno stato ψ. Se conosciamo una rappresentazione degli stati φ e ψ attraverso gli stati base i, possiamo scrivere

$\left\langle \psi | \varphi \right\rangle = \sum_i \left\langle \psi | i \right\rangle \left\langle i | \varphi \right\rangle$

Se analizziamo l'espressione sopra, vediamo che ha una stretta somiglianza con il prodotto scalare: infatti, se ψ_i e φ_i sono le ampiezze di ψ e φ rispetto agli stati base normalizzati, l'espressione sopra diventa:

$\left\langle \psi | \varphi \right\rangle = \sum_i \psi_i^* \varphi_i$

Dirac propose di scindere il termine a sinistra dell'espressione in due parti, la prima $\left\langle \psi \right|$ detta bra e e la seconda $\left| \varphi \right\rangle$ detta ket. Esse rappresentano dunque il vettore di stato dei due sistemi considerati secondo gli stati base. Se poniamo per semplicità che siano solo tre, (i₁, i₂, i₃), rispettivamente avremo

$\left\langle \psi \right | = (\psi_{i_1}, \psi_{i_2}, \psi_{i_3})$ (vettore riga)

$\left| \varphi \right\rangle= \begin{pmatrix} \varphi_{i_1} \\ \varphi{i_2} \\ \varphi_{i_3} \end{pmatrix}$ (vettore colonna)

Dato che, generalmente, si ha che l'ampiezza di probabilità di passare da φ a ψ è il coniugato dell'ampiezza di probabilità di passare da ψ a φ, cioè

$\left\langle \psi | \varphi \right\rangle = \left\langle \varphi | \psi \right\rangle^*$

vale la relazione

$\left\langle \psi \right| = \left| \psi \right\rangle^*$

Definiamo l'operatore A un'applicazione lineare che rappresenta matematicamente un qualsiasi oggetto fisico che interagisca con gli stati che stiamo considerando, comprese le apparecchiature sperimentali, modificando lo stato $|\psi \rangle$ e trasformandolo nello stato $A |\psi\rangle$ . Per indicare quindi l'ampiezza di probabilità di passare dallo stato $A |\psi \rangle$ allo stato $|\varphi \rangle$ scriveremo $\left\langle \psi | A |\varphi \right\rangle$ , detto anche elemento di matrice di A fra ψ e φ. Scomponendo ψ e φ in stati base, rispettivamente i e j, possiamo porre

Se possiamo calcolare gli elementi di matrice $\left\langle i | A | j \right\rangle$ possiamo calcolare le ampiezze risultanti su i dal passaggio in A di qualunque stato espresso in j

Prendiamo ad esempio una particella con spin 1/2, l'elettrone. Abbiamo solo 2 possibili stati base: spin su ( $|+\rangle$ ) e spin giù ( $|-\rangle$ ). La A sarebbe dunque

$\left\langle i | A | j \right\rangle = \left( \begin{matrix} {\langle+|A|+\rangle},{\langle+|A|-\rangle} \\ {\langle-|A|+\rangle},{\langle-|A|-\rangle} \\ \end{matrix} \right)$

Un operatore particolare è quello di evoluzione temporale. Se consideriamo l'elettrone al tempo t₁ in un determinato stato (+ o -), esso avrà una certa probabilità di trovarsi, in un tempo t₂ successivo al primo, in un certo stato (+ o -). Ciascuna delle quattro possibilità verrà rappresentata dalla seguente notazione matriciale:

$\left\langle i | U(t_1,t_2) | j \right\rangle = \left( \begin{matrix} {\langle+|U(t_1,t_2)|+\rangle},{\langle+|U(t_1,t_2)|-\rangle} \\ {\langle-|U(t_1,t_2)|+\rangle},{\langle-|U(t_1,t_2)|-\rangle} \\ \end{matrix} \right)$

Il limite per t₁ → -∞ e t₂ → +∞ è un caso particolare: in questo caso l'operatore di evoluzione temporale viene detto matrice S (da scattering) ed introduce alla teoria dei propagatori.

[modifica] Simboli HTML

Nel linguaggio HTML, i simboli per il bra e il ket sono codificati da 〈 e 〉, e corrispondono ai codici #9001 e #9002 〈 e 〉

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