Принцип неопределённости Гейзенберга

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Принцип неопределенности Гейзенберга — в квантовой физике так называют закон, который устанавливает ограничение на точность (почти)одновременного измерения переменных состояния, например положения и импульса частицы. Кроме того, он точно определяет меру неопределенности, давая нижний (ненулевой) предел для произведения дисперсий измерений.

Рассмотрим, например, серию следующих экспериментов: путем применения оператора, частица приводится в определенное чистое состояние, после чего выполняются два последовательных измерения. Первое определяет положение частицы, а второе, сразу после этого, её импульс. Предположим также, что процесс измерения (применения оператора) таков, что в каждом испытании первое измерение даёт то же самое значение, или по крайней мере набор значений с очень маленькой дисперсией d_p около значения p. Тогда второе измерение даст распределение значений, дисперсия которого d_q будет обратно пропорциональна d_p.

В терминах квантовой механики, процедура применения оператора привела частицу в смешанное состояние с определенной координатой. Любое измерение импульса частицы обязательно приведет к дисперсии значений при повторных измерениях. Кроме того, если после измерения импульса мы измерим координату, то тоже получим дисперсию значений.

В более общем смысле, соотношение неопределенности возникает между любыми переменными состояния, определяемыми некомутирующими операторами. Это - один из краеугольных камней квантовой механики, который был открыт Вернером Гейзенбергом в 1927 г.

Содержание

1 Краткий обзор
2 Определение
3 Другие характеристики
4 Интерпретации
5 Принцип неопределенности в популярной культуре
- 5.1 Юмор
6 См. также
7 Литература
- 7.1 Использованная литература
- 7.2 Журнальные статьи
8 Внешние ссылки

[править] Краткий обзор

Принцип неопределенности в квантовой механике иногда объясняется таким образом, что измерение координаты обязательно влияет на импульс частицы. По-видимому, сам Гейзенберг предложил это объяснение, по крайней мере первоначально. То, что влияние измерения на импульс несущественно, может быть показано следующим образом: рассмотрим ансамбль (невзаимодействующих) частиц приготовленных в одном и том же самом состоянии; для каждой частицы в ансамбле мы измеряем либо импульс либо координату, но не обе величины. В результате измерения мы получим, что значения распределены с некоторой вероятностью и для дисперсий d_p и d_q верно отношение неопределенности.

Отношения неопределенности Гейзенберга — это теоретический предел точности любых измерений. Они справедливы для так называемых идеальных измерений, иногда называемых измерениями фон Неймана. Они тем более справедливы для неидеальных измерений или измерений Ландау.

Соответственно, любая частица (в общем смысле, например несущая дискретный электрический заряд) не может быть описана одновременно как «классическая точечная частица» и как волна. (Сам факт того, что какое-либо из этих описаний может быть справедливо, по крайней мере в отдельных случаях, называют корпускулярно-волновым дуализмом). Принцип неопределенности, в виде, первоначально предложенном Гейзенбергом, верен в случае, когда ни одно из этих двух описаний не является полностью и исключительно подходящим, например частица в коробке с определенным значением энергии; то есть для систем, которые не характеризуются ни каким-либо определенным «положением» (какое-либо определенное значение расстояния от потенциальной стенки), ни каким-либо определенным значением импульса (включая его направление).

Существует точная, количественная аналогия между отношениями неопределенности Гейзенберга и свойствами волн или сигналов. Рассмотрим переменный во времени сигнал, например звуковую волну. Бессмысленно говорить о частотном спектре сигнала в какой-либо момент времени. Для точного определения частоты необходимо наблюдать за сигналом в течение некоторого времени, таким образом теряя точность определения времени. Другими словами, звук не может иметь и точного значения времени, как например короткий импульс, и точного значения частоты, как например в непрерывном чистом тоне. Временно́е положение и частота волны во времени походят на координату и импульс частицы в пространстве.

[править] Определение

Если приготовлены несколько идентичных копий системы в данном состоянии, то измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться определенному распределению вероятности — это фундаментальный постулат квантовой механики. Измеряя величину стандартного отклонения Δx координаты и стандартного отклонения Δp импульса, мы найдем что:

$\Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$ ,

где « $\hbar$ » является постоянной Планка (h) поделенной на 2π. (В некоторых рассмотрениях «неопределенность» переменной определяется как наименьшая ширина диапазона, который содержит 50 % значений, что, в случае нормального распредения переменных, приводит для произведения неопределенностей к большей нижней границе h/2π.) Отметьте, что это неравенство даёт несколько возможностей — состояние может быть таким, что x может быть измерен с высокой точностью, но тогда p будет известен только приблизительно, или наоборот p может быть определен точно, в то время как x — нет. Во всех же других состояниях, и x и p могут быть измерены с «разумной» (но не произвольно высокой) точностью.

В повседневной жизни мы обычно не наблюдаем неопределенность потому, что значение h чрезвычайно мало.

[править] Другие характеристики

Было развито множество дополнительных характеристик, включая описанные ниже:

[править] Выражение конечного доступного количества информации Фишера

Принцип неопределенности альтернативно выводится как выражение неравенства Крамера-Рао в классической теории измерений. В случае когда измеряется положение частицы. Средне-квадратичный импульс частицы входит в неравенство как информация Фишера. См. также полная физическая информация.

[править] Обобщенный принцип неопределенности

Принцип неопределенности не относится только к координате и импульсу. В своей общей форме, он применим к каждой паре сопряженных переменных. В общем случае, и в отличие от случая координаты и импульса, обсужденного выше, нижняя граница произведения неопределенностей двух сопряженных переменных зависит от состояния системы. Принцип неопределенности становится тогда теоремой в теории операторов, которую мы здесь приведем

Теорема. Для любых самосопряженных операторов: A:H → H и B:H → H, и любого элемента x из H такого, что A B x и B A x оба определены (т.е., в частности, A x и B x также определены), имеем:

$\langle BAx|x \rangle \langle x|BAx \rangle = \langle ABx|x \rangle \langle x|ABx \rangle = \left|\langle Bx|Ax\rangle\right|^2\leq \|Ax\|^2\|Bx\|^2$

Это - прямое следствие неравенства Коши-Буняковского.

Следовательно, верна следующая общая форма принципа неопределенности, впервые выведенная в 1930 г. Говард Перси Робертсоном и (независимо) Эрвином Шредингером:

$\frac{1}{4} |\langle(AB-BA)x|x\rangle|^2\leq\|Ax\|^2\|Bx\|^2.$

Это неравенство называют отношением Робертсона-Шредингера.

Оператор AB-BA называют коммутатором A и B и обозначют как [A,B]. Он определен для тех x, для которых определены оба ABx и BAx.

Из отношения Робертсона-Шредингера немедленно следует отношение неопределенности Гейзенберга:

Предположим, A и B — две переменные состояния, которые связаны с самосопряженными (и что важно — симметричными) операторами. Если ABψ и BAψ определены, тогда:

$\Delta_{\psi}A\,\Delta_{\psi}B\ge\frac{1}{2}\left|\left\langle\left[A,{B}\right]\right\rangle_\psi\right|$ ,

где:

$\left\langle X\right\rangle_\psi =\left\langle\psi|X\psi\right\rangle$

среднее значение оператора переменной X в состоянии ψ системы, и:

$\Delta_{\psi}X=\sqrt{\langle{X}^2\rangle_\psi-\langle{X}\rangle_\psi^2}$

оператор стандартного отклонения переменной X в состоянии ψ системы

Приведенные выше определения среднего и стандартного отклонения формально определены исключительно в терминах теории операторов. Утверждение становится однако более значащим, как только мы заметим, что они являются фактически средним и стандартным отклонением измеренного распределения значений. См. квантовая статистическая механика.

То же самое может быть сделано не только для пары сопряженных операторов (например координаты и импульса, или продолжительности и энергии), но вообще для любой пары Эрмитовых операторов. Существует отношение неопределенности между напряженностью поля и числом частиц, которое приводит к явлению виртуальных частиц.

Возможно также существование двух некоммутирующих самосопряженных операторов A и B, которые имеют один и тот же собственный вектор ψ. В этом случае ψ представляет собой чистое состояние, которое является одновременно измеримым для A и B.

[править] Общие наблюдаемые переменные, которые повинуются принципу неопределенности

Предыдущие математические результаты показывают, как найти отношения неопределенности между физическими переменными, а именно, определить значения пар переменных A и B коммутатор которых имеет определенные аналитические свойства.

самое известное отношение неопределенности — между координатой и импульсом частицы в пространстве:

$\Delta x_i \Delta p_i \geq \frac{\hbar}{2}$

отношение неопределенности между двумя ортогональными компонентами оператора полного углового момента частицы:

$\Delta J_i \Delta J_j \geq \frac {\hbar} {2} \left |\left\langle J_k\right\rangle\right |$

, где i, j, k отличны и J_i обозначает угловой момент вдоль оси x_i.

следующее отношение неопределенности между энергией и временем часто представляется в учебниках физики, хотя его интерпретация требует осторожности, т.к. не существует оператора, представляющего время:

$\Delta E \Delta t \ge \frac{\hbar}{2}$

[править] Интерпретации

главная статья: Интерпретация квантовой механики

Альберту Эйнштейну принцип неопределенности не очень понравился, и он бросил вызов Нильсу Бору и Вернеру Гейзенбергу известным мысленным экспериментом (См. дебаты Бор-Эйнштейн для подробной информации): заполним коробку радиоактивным материалом, который испускает радиацию случайным образом. Коробка имеет открытый затвор, который немедленно после заполнения закрывается при помощи часов в определенный момент времени, позволяя уйти небольшому количеству радиации. Таким образом время уже точно известно. Мы все еще хотим точно измерить сопряженную переменную энергии. Эйнштейн предложил сделать это, взвешивая коробку до и после. Эквивалентность между массой и энергией по специальной теории относительности позволит точно определить, сколько энергии осталось в коробке. Бор возразил следующим образом: если энергия уйдет, тогда полегчавшая коробка сдвинется немного на весах. Это изменит положение часов. Таким образом часы отклоняются от нашей неподвижной системы отсчета, и по специальной теории относительности, их измерение времени будет отличаться от нашего, приводя к некоторому неизбежному значению ошибки. Детальный анализ показывает, что неточность правильно дается соотношением Гейзенберга.

В пределах широко, но не универсально принятой Копенгагенской интерпретации квантовой механики, принцип неопределенности принят на элементарном уровне. Физическая вселенная существует не в детерминистичной форме, а скорее как набор вероятностей, или возможностей. Например, картина (распределение вероятности) произведенная миллионами фотонов, дифрагирующими через щель может быть вычислена при помощи квантовой механики, но точный путь каждого фотона не может быть предсказана никаким известным методом. Копенгагенская интерпретация считает, что это не может быть предсказано вообще никаким методом.

Именно эту интерпретацию Эйнштейн подвергал сомнению, когда писал Бору: «я уверен, что Бог не бросает кости»^[1]. Бор, который был одним из авторов Копенгагенской интерпретации, ответил: «Эйнштейн, не говорите Богу, что делать».

Эйнштейн был убежден, что эта интерпретация была ошибочной. Его рассуждение основывалось на том, что все уже известные распределения вероятности являлись результатом детерминированных событий. Распределение подбрасываемой монеты или катящейся кости может быть описано распределением вероятности (50 % орел, 50 % решка). Но это не означает, что их физические движения непредсказуемы. Обычная механика может вычислить точно, как каждая монета приземлится, если силы, действующие на неё будут известны, а орлы/решки будут все ещё распределяться вероятностно (при случайных начальных силах).

Эйнштейн предполагал, что существуют скрытые переменные в квантовой механике, которые лежат в основе наблюдаемых вероятностей.

Ни Эйнштейн, ни кто-либо ещё с тех пор не смог построить удовлетворительную теорию скрытых переменных, и неравенство Белла иллюстрирует некоторые очень тернистые пути в попытке сделать это. Хотя поведение индивидуальной частицы случайно, оно также скоррелировано с поведением других частиц. Поэтому, если принцип неопределенности - результат некоторого детерминированного процесса, то получается, что частицы на больших расстояниях должны немедленно передавать информацию друг другу, чтобы гарантировать корреляции в своем поведении.

[править] Принцип неопределенности в популярной культуре

Принцип неопределенности часто неправильно понимается или приводится в популярной прессе. Одна частая неправильная формулировка в том, что наблюдение события изменяет само событие. Это может быть верным в некоторых случаях для некоторых событий, но это не имеет никакого отношения к принципу неопределенности в квантовой механике.

Другие (также вводящие в заблуждение) аналогии с макроскопическими эффектами были предложены для объяснения принципа неопределенности: одна из них рассматривает придавливание арбузной семечки пальцем. Эффект известен - нельзя предсказать, как быстро или куда семечка исчезнет. Этот случайный результат базируется полностью на хаотичности, которую можно объяснить в простых классических терминах.

В некоторых научно-фантастических рассказах, устройство для преодоления принципа неопределенности называют компенсатором Гейзенберга, наиболее известно он используется на звездолете Звёздный Путь на телепортаторе. Однако, не известно, что означает «преодоление принципа неопределенности».

[править] Юмор

Необычная природа принципа неопределенности Гейзенберга и его запоминающееся название, сделали его источником нескольких шуток. Говорят, что популярной надписью на стенах физического факультета университетских городков является: «Здесь, возможно, был Гейзенберг».

В другой шутке о принципе неопределенности, квантового физика остановливает на шоссе полицейский и спрашивает: «Вы знаете, как быстро Вы ехали, сэр?». На что физик отвечает: «Нет, но я точно знаю, где я!»

[править] См. также

Квантовая неопределенность

[править] Литература

[править] Использованная литература

↑ Письмо Максу Борну от 12 декабря 1926 г, цит. Einstein, The Life and Times ISBN 0-380-44123-3

[править] Журнальные статьи

W. Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, Zeitschrift für Physik, 43 1927, pp 172-198. English translation: J. A. Wheeler and H. Zurek, Quantum Theory and Measurement Princeton Univ. Press, 1983, pp. 62-84.
Л. И. Мандельштам, И. Е. Тамм „Соотношение неопределённости энергия-время в нерелятивистской квантовой механике“, Изв. Акад. Наук СССР (сер. физ.) 9, 122-128 (1945).
G. Folland, A. Sitaram, The Uncertainty Principle: A Mathematical Survey, Journal of Fourier Analysis and Applications, 1997 pp 207-238.

[править] Внешние ссылки

Категории: Физика | Квантовая механика | Физические законы и уравнения