Arv

Käesolev artikkel tegeleb arvu mõistega matemaatikas. Lingvistilise arvumõiste kohta vaata artiklit Arv (keeleteadus).

Selle artikli sisu on vaidlustatud! Loe kriitikameelega!

Lisateavet vaidlustamise põhjuse kohta saad artikli arutelust.

Arv on loendamise, mõõtmise või arvutamise tulemus, arv märgib esemete või nähtuste hulka. Samas on ta ka abstraktne objekt, mida seostatakse mingi konkreetse kvantiteediga.

Arve tuleb eristada arvsõnadest ja numbritest, mis tähistavad arve.

Kõige tuntumad arvud on naturaalarvud 0, 1, 2, ..., mida kasutatakse loendamiseks ja mis moodustavad hulga $\mathbb{N}$ (mõnikord jäetakse 0 naturaalarvude hulgast välja). Kui naturaalarvudele lisada negatiivsed arvud, saame täisarvud, mis moodustavad hulga $\mathbb{Z}$ . Täisarvude jagatisi nimetatakse ratsionaalarvudeks, mis moodustavad hulga $\mathbb{Q}$ . Kui lisada mitteperioodilised lõpmatud kümnendmurrud, saame reaalarvud, mis moodustavad hulga $\mathbb{R}$ . Kui lisada reaalarvudele kõikide reaalarvuliste koefitsientidega algebraliste võrrandite lahendid, saame kompleksarvud, mis moodustavad hulga $\mathbb{C}$ .

Arvudeks nimetatakse harilikult ainult kompleksarvude korpuse $\mathbb{C}$ elemente.

Niisuguse arvu mõiste üldistuseks on hüperkompleksarv, mis kuulub mõnda ühikelemendiga lõplikumõõtmelisse algebrasse üle reaalarvude korpuse $\mathbb{R}$ .

Hulkade võimsust mõõdetakse kardinaalarvudega.

Aritmeetilisi tehteid arvudega, nagu näiteks liitmist ja korrutamist, üldistab abstraktne algebra, mis tegeleb algebraliste struktuuridega, näiteks rühmade, ringide ja korpustega.

[redigeeri] Ajalugu

Arvu mõiste on tekkinud ja arenenud koos matemaatika tekkimise ja arenguga. Selle mõiste arengut on tinginud nii inimese praktilised vajadused kui ka matemaatika seesmised vajadused.

Naturaalarvu mõiste tekkis vajadusest esemeid loendada. Kõik rahvad, kes on tundnud kirja, on vallanud naturaalarvu mõistet ning kasutanud mingit arvutamissüsteemi.

Ratsionaalarvude kasutamise kohta on andmeid perioodist enam kui 3000 aastat tagasi.

Negatiivsete arvude kasutamise kohta on teateid II sajandist ekr. Hiina matemaatikute töödest. Euroopasse jõudsid negatiivsed arvud nähtavasti araablaste vahendusel Indiast. Neid hakati Euroopa matemaatikute hulgas laialdaselt kasutama alles pärast prantsuse matemaatiku R. Descartesi (1596...1650) tööde ilmumist. Üksikuid irrratsionaalarve tunti ja kasutati juba antiikajal. Seda mitmetest geomeetrilistest ülesannetest lähtudes. Reaalarvude matemaatiliselt korrektse käsitluse andsid 19. sajandi teisel poolel R. Dedekind (1831...1916), G. Cantor (1845...1918) ja K. Weierstrass (1815...1897).

Esimesed teated imaginaararvu kasutamisest ulatuvad 16. sajandisse. On teada, et 1545. aastal avaldas Itaalia matemaatik G. Cardano (1501...1576) töö, milles vaadeldi võrrandit x³-12x+16=0. Lahendamisel kasutas ta avaldist $\sqrt{-243}$ ning leidis selle abil lahendid $x 1 = x 2 = 2$ , $x 3 = - 4$ . Laialdaselt kasutas kompleksarve Peterburi Teaduste akadeemia akadeemik L.Euler (1707...1783), kes muuhulgas võttis kasutusele sümboli i imagnaarühiku tähisena. Alles 18. sajandi lõpus leiti kompleksarvude geomeetriline tõlgendus.