数
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数（かず、すう、number）とは、数量を表すために用いられる抽象的な概念である。
数と数字はしばしば混同され、また混同しても問題がない場合もあるが、本質的には異なることに注意されたい。数字とは数を表すための記号である。これに対して、数とは我々の頭の中にある極めて抽象的な何かである。
例えば、リンゴが1個あるのとみかんが1個あるのは全く異なる事実であるが、我々はそこに何らかの共通するものを見出し、それを 1 と名付けている。 1 という数それ自体はリンゴやみかんではないし、それが存在するという事実を指す訳でもないし、まして縦や横に引かれた短い線分のことを言うわけではない。
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[編集] 数の概念
[編集] 数の体系
数の概念は人類の歴史とともに次第に拡大してきた。もっとも素朴な存在としての数は、ものの個数としての自然数である。ここから負の整数を加えて整数が、整数の商を考えて有理数がそれぞれ得られて、四則演算が自由に行える体系を得る。有理数から実数への拡張はこのような演算とは異なるギャップを埋めることで得られ、代数方程式の解法を通じて虚数を含む複素数へとたどり着く。
- 自然数 → 整数 → 有理数 → 実数 → 複素数
[編集] 拡張
一般に、数というのは複素数全体の集合 C に含まれるものを指すと考えられている。一方でこれとは異なる体系もあり、その一部はやはり「数」と呼ばれる。例えば、ものの個数の概念である自然数を拡張して基数（濃度）が、ものの順番を表す意味での自然数の拡張として順序数が定義される。また、有理数から実数への移行と並行して素数 p ごとに p-進数が存在したり、複素数の外側にさらに虚数をもち、そのため幾つかの扱いやすい性質を失った体系として四元数、八元数・十六元数などがある。あるいは、実数に加えて無限小や無限大を含む超実数などの体系もある。
- 自然数 → 基数
- 基数 - 有限基数（= 自然数）、無限基数
- 自然数 → 順序数
- 順序数 - 有限順序数（= 自然数）、超限順序数
- 実数 → 複素数 → 四元数 → 八元数 → 十六元数
- 有理数 → p-進数 （+ 実数 → アデール）
- 実数 → 超実数
[編集] 演算
数に関する重要な点として、足したり引いたり掛けたり割ったりという様々な演算を施すということを挙げられる。詳しくは四則演算の項を参照されたい。
このような演算については、数学の一分野である抽象代数学の中で、群・環・体のような形でより一般化して議論されている。
[編集] 記数法
数を如何にして数字に表すかという方法は記数法と呼ばれる。同じ数が、さまざまな記数法によって複数の表示をもつことは珍しいことではない。それどころか、ある種の記数法ではその方法だけで表示が一つに定まらないことがある。例えば、十進小数表示では 1 = 0.999... （右辺は、小数点以下の全ての桁が 9）という二通りの表示をもつ。
