Tala

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu

Tala er hlutfirrt eining sem notuð er til þess að lýsa fjölda og/eða magni. Einfaldasta form talna eru náttúrulegar tölur {0, 1, 2, 3,..} eða {1, 2, 3,..}, sem eru notaðar við talningu og er mengi þeirra táknað N. Deilt er um það hvort 0 tilheyri náttúrulegum tölum eða ekki. Ef að neikvæðar heiltölur eru teknar með er komið heiltölumengið Z. Séu hlutföll talna tekin með, og þar af leiðandi brot, eru komnar ræðar tölur, Q. Þó eru ekki allar tölur ræðar, sumar (eins og Pí) eru endalausar, eða óræðar. Þegar ræðum tölum, óræðum tölum og heiltölum samankurlað í eitt mengi er komið mengi rauntalna, R. Þar sem að ekki er hægt að leysa öll algebraísk vandamál með rauntölum er mengi rauntalna lengt inn á tvinntölusléttuna. Mengi tvinntalna er táknað með C. Áður fyrr tíðkaðist það að skrifa nöfn þessarra mengja feitletrað á krítartöflur, og hefðinni hefur verið haldið uppi með smá stílfæringu. Þannig má setja upp tölumengin svona:

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$

Tvinntölur má svo lengja upp í fertölur þar sem að víxlreglan gildir ekki um margföldun. Fertölur má svo lengja í átttölur, en þá glatast önnur regla, tengireglan.

Tölur eru samsettar úr tölustöfum, sem að eru skilgreindar eftir tölukerfum. Tölukerfið sem fólk lærir í skóla er tugakerfið, sem varð líklegast vinsælt vegna tilhneygingar fólks til þess að hafa tíu putta, en það einfaldar talningu rosalega. Þó er það alls ekki eina tölukerfið: Rómverjar hópuðu einingum saman í hópa af 3, 5, 10, 50, 100, 500 og 1000. Babýlóníumenn byggðu talningakerfið sitt upp á tölunni 60, en það er ástæðan fyrir því að það eru 60 mínútur eru í klukkustund, og 60 sekúndur í mínútu. Einnig er það ástæðan fyrir 360 gráða hring. Keltar notuðust lengi við grunntöluna 12, sem enn er notað sem grunneining mælinga í Bandaríkjunum.

[breyta] Málfræði talna

Mörg tungumál hafa málfræðilegar tölur, sem er viðfang sérstakra orða og breytir framburði þeirra og merkingu. Dæmi er um eintölu, tvítölu og fleirtölu í íslensku. Þá hafa sálfræðingar gert (frekar vafasamar) kannannir á sameiginlegu gáfnafari heilla þjóða með tilliti til þess hversu háar málfræðilegar tölur eru til: Sum tungumál þekkja „einn“ og „margir“, önnur „einn“, „tveir“ og „margir“, og svo framvegis. Íslenska gerir greinarmun á allt að þremur áður en að hugtakið „margir“ tekur við (lesandi getur hugsað sér að hann sé að telja rollur).

Mjög mörg mál hafa sömu grunn hugmynd að talningu. Í rómverskum tölustöfum var talið I, II, III, IV, V. Í kínversku, japönsku og öðrum málum sem nota kínverskar táknmyndir eru fyrstu tölurnar svipaðar, nema lárétt (一, 二, 三, 士, 五). Súmerska notaði misjafnan fjölda fleyga („<“) til þess að tákna tölur, og voru allt að fimm fleygum í hóp áður en að annars kyns tákn sýndi tug (sex-tug; kerfið þeirra byggðist á grunntölunni 60). Tekið skal eftir að hvorki rómverska né kínverska nota bara einföld strik fyrir töluna 4. Rómversku tölurnar tákna 4 sem IV - „einum minna en fimm“. Sálfræðingar tengja þetta við sálfræðilega mikilvægi mannshandarinnar og tilhneygingar fólks til þess að hafa fimm putta. Aðrir, ögn sniðugari sálfræðingar benda hins vegar á að ástæðan fyrir breytingunni er vangeta manna til þess að höndla stærri tölur en 3. Ef að Rómverjar eða Kínverjar hefðu bara fallist á að gera eingöngu strik til þess að tákna fjölda, þá hefðu þeir ritað töluna 10 sem IIIIIIIIII, eða lóðrétt. Það er töluvert erfiðara að hugsa um töluna IIIIIIIIII heldur en töluna X, eða töluna 十.

Arabískar tölur, þær sem við lærum að skrifa, eru byggðar á svipaðri grunnhugmynd: talan 1 var áður fyrr bara eitt lóðrétt strik, og tölurnar 2 og 3 eru þannig bara breytingar út frá lóðréttu striki til þess að tákna fjölda (arabíska er rituð frá hægri til vinstri - talan 2 hefur tvær bugður vinstra megin, og talan 3 þrjár bugður). Enn og aftur er reglan brotin þegar kemur að tölunni 4, til þess að auðvelda úrvinnslu talnanna í hugum manna.