Číslo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Číslo je abstraktní entita užívaná pro vyjádření množství. Čísla se zapisují pomocí číslic a to v různých číselných soustavách.

Obsah

1 Číselné obory
2 Podívejte se také na

[editovat] Číselné obory

[editovat] Přirozená čísla

Zvláštním případem „vyjádření množství“ je „vyjádření počtu“ - přidělení určitého čísla skupině objektů, o kterých uvažujeme jako o jednotkových (každý z nich je „jeden“) a dále nedělitelných. Tomuto vyjadřování počtu říkáme v běžném jazyce počítání a čísla, používaná k vyjádření počtu jsou označována jako přirozená čísla.

Přirozená čísla jsou obvykle označována symbolem $\mathbb{N} \,\!$ (v teorii množin také symbolem $\omega \,\!$ ). Podle toho, k jakým účelům se definice přirozených čísel používá, je mezi ně někdy zařazován i „počet objektů v prázdném souboru“ - číslo 0. Aby v tomto nedocházelo k nejasnostem, používá se obvykle pro přirozená čísla s nulou symbol
$\mathbb{N}_0 = \{ 0,1,2,3,\ldots \} \,\!$
a pro přirozená čísla bez nuly symbol
$\mathbb{N}^+ = \{ 1,2,3,\ldots \} \,\!$
V tomto článku je používán symbol $\mathbb{N} \,\!$ ve smyslu „počtů v neprázných souborech objektů“, takže $\mathbb{N} = \mathbb{N}^+ \,\!$

[editovat] Celá čísla

Přirozená čísla jsou naprosto postačující, dokud je v rámci počítání používáno pouze sčítání a násobení, případně mocnění. Při pokusu o „opačné“ početní operace mi ale přirozená čísla již nestačí.

Příkladem takové nedostatečnosti je určení „počtu peněz, které dluží Karel Jirkovi“. Dokud Karel dluží Jirkovi, je vše v pořádku a „vejdu“ se do přirozených čísel. Dokonce ještě v případě, kdy Karel vše vrátí, lze se s tím vypořádat v oboru $\mathbb{N}_0 \,\!$ . Co ale s případem, kdy se situace otočí a Karel naopak půjčí nějaké peníze Jirkovi (nebo mu vrátí víc, než kolik mu dlužil)?

Tato motivace - zachycení záporných počtů především v oblasti financí, vedla k rozšíření oboru přirozených čísel na celá čísla, která vzniknou z $\mathbb{N}_0 \,\!$ přidáním „zrcadlových obrazů“ jednotlivých počtů:
$\mathbb{Z} = \{ \ldots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \} \,\!$

Tyto zrcadlové obrazy mi umožňují odpověď ve výše uvedeném příkladě i v obrácené situace (lze dlužit zápornou částku). Obor celých čísel je totiž uzavřený co se týká operace opačné ke sčítání - odčítání. Lze tedy napsat například:

$2 - 15 = -13 \,\!$
$-7 - (-3) = -4 \,\!$

[editovat] Racionální čísla

Stejně, jako je odečítání opačnou operací ke sčítání (a abychom jej mohli používat bez omezení, museli jsme rozšířit přirozená čísla na celá čísla), nabízí se otázka, co s opačnou operací k násobení - s dělením. Při pokusech o „vracení do původního stavu“ po vynásobení - což přesně dělení vlastně je - brzy přijdeme na to, že v některých případech nevystačíme s celými čísly. Číselný obor celých čísel by bylo potřeba rozšířit o čísla vyjadřující taková množiství (v tuto chvíli už nelze mluvit o počtu) jako je „sedm polovin“, „jedna třetina“ nebo „sedmnáct setin“.

Rozšíření oboru celých čísel o tato „zlomková množství“ vzniká obor racionálních čísel
$\mathbb{Q} = \{ \frac{a}{b} : a \isin \mathbb{Z}, b \isin \mathbb{N}^+ \} \,\!$

Tento zápis vypadá hrozivě, ale nevyjadřeuje nic jiného, než to, co vedlo k zavedení pojmu racionálního čísla - potřebu vyjádřit zlomková množství. Konkrétně „sedm polovin“, „jedna třetina“ a „sedmnáct setin“ lze zapsat takto:
$\frac{7}{2}, \frac{1}{3}, \frac {17}{100} \,\!$

V dnes běžně používané desítkové číselné soustavě mají obzvláštní důležitost zlomky dělící objekt na části odpovídající mocninám desítky - například na desetiny, setiny, tisíciny. Pro ty je používán zjednodušený zápis:

$\frac{17}{10} = 1,7 \,\!$

$\frac{17}{100} = 0,17 \,\!$

$\frac{1775897}{10000} = 177,5897 \,\!$

[editovat] Reálná čísla

Zdálo by se, že množina racionálních čísel je již dostatečná pro řešení všech matematických úloh, které by koho mohly napadnout. Že tomu tak není, to zjistila již sekta Pýthágorejců v antickém Řecku. Problém, ke kterému neexistuje řešení mezi racionálními čísly, lze formulovat následujícím způsobem:
Najděte takové číslo, jehož druhá mocnina je 2.

Důkaz, že takové racionální číslo neexistuje, lze najít zde.

Představím-li si rozmístění racionálních čísel na číselné ose, pak na každém jejím sebemenším kousku jich je nekonečně mnoho. Přesto se na tuto číselnou osu vejde i veliké množství (dokonce mnohem větší množství, než je všech racionálních čísel) čísel jiných - iracionálních čísel. Příkladem je číslo z výše uvedeného příkladu, které je obvykle označováno symbolem $\sqrt{2} \,\!$ . Takováto čísla (která jsou řešením nějaké polynomické rovnice, nebo zjednodušeně řečeno, která lze vyjádřit pomocí sčítání, odčítání, násobení, dělení, mocnění a odmocňování racionálních čísel) jsou nazývána algebraická.

Otázka, zda existují ještě jiná, než algebraická čísla, byla vyřešena záporně - například Ludolfovo číslo $\pi \,\!$ není algebraické - jedná se o takzvané transcendentní číslo.

Množina čísel, která odpovídají veškerým myslitelným množstvím (tj. racionální, iracionální, algebraická, transcendentní), nazýváme množinou reálných čísel, používá se pro ní označení $\mathbb{R} \,\!$ . Na rozdíl od racionálních čísel tato množina již beze zbytku vyplňuje číselnou osu.

Poznámka: To, že reálná čísla „beze zbytku vyplňují číselnou osu“ se zásadním způsobem odráží v některých vlastnostech, na kterých stojí celý obor matematické analýzy. Například je zde pravda, že „každá omezená množina má supremum a infimum“ nebo „z omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní posloupnost“, což jsou tvrzení, která neplatí ani na oboru racionálních čísel, dokonce ani na oboru algebraických čísel.

[editovat] Komplexní čísla

Zdálo by se, že již není v rozšiřování číselných oborů kam postupovat, neboť reálná čísla již pokrývají jakékoliv myslitelné množství. Pro potřeby zjednodušení matematických výpočtů je přesto zaváděn ještě větší číselný obor - tzv. komplexní čísla.

Motivací pro jejich zavedení je, aby každá polynomická rovnice měla nějaké řešení. V příkladu z předchozího odstavce jsme v podstatě řešili polynomickou rovnici $x^2 = 2 \,\!$ , jejím řešením jsou dvě čísla: $\sqrt{2} \,\!$ a $-\sqrt{2} \,\!$ .

Pokusím-li se vyřešit podobnou rovnici $x^2 = -2 \,\!$ , pak v oboru reálných čísel řešení nenajdu. Komplexní čísla jsou proto zaváděna jako dvojice reálných čísel - reálná část a imaginární část (vizuálně odpovídá obor komplexních čísel nikoliv číselné ose, ale číselné rovině).

[editovat] Shrnutí

Postupným rozšiřováním řešeným matematických úloh jsme se dostali k následující hierarchii číselných oborů:

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$

Grafické zobrazení vztahu mezi jednotlivými množinami

Jiným směrem zobecnění přirozených čísel je jejich rozšíření do třídy kardinálních a ordinálních čísel. Platí: $\mathbb{N}\sub \mathbb{C}n \sub \mathbb{O}n$