Entier naturel

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En mathématiques, un entier naturel (aussi appelé nombre naturel) est un nombre entier et positif, comme 0, 1, 2, 3, 4, 5... 12, 512, $2 \times 10^3$ ...

Il s'agit donc de nombres qui permettent de compter les objets quand ils sont en quantité discrète ; par exemple, les doigts, les feuilles d'un arbre. Ils ne permettent pas de mesurer des quantités continues comme une longueur, un volume ou une masse.

L'idée de considérer zéro comme un entier naturel est relativement récente.

Bien que cette notion paraisse intuitive, leur définition formelle en mathématiques n'a pas été simple à concrétiser. Les axiomes de Peano définissent l'ensemble des entiers naturels, noté N ou $\mathbb{N}$ . On note $\mathbb{N}^*$ l'ensemble des entiers naturels privé de l'élément zéro.

Sommaire

1 Une abstraction des collections d'objets réels
2 Propriétés
3 Voir aussi
- 3.1 Articles connexes
- 3.2 Liens externes

[modifier] Une abstraction des collections d'objets réels

Au départ sont les objets et les animaux, par exemple. On a des fruits, un troupeau ... Ces objets n'ont rien à voir entre eux, mais ils ont pourtant une caractéristique commune : dans un panier, les tomates sont distinctes et à peu près identiques, dans un troupeau, les vaches sont elles aussi distinctes et à peu près identiques. Ce ou ces caractères communs définissent une collection.

On a inventé des objets abstraits qui ont la propriété suivante : ils sont distincts et interchangeables. Ces objets sont des unités. Euclide en donne au Livre VII la définition suivante : « L'unité est ce relativement à quoi tout objet est appelé Un. »

On a donc extrait une propriété qui nous intéresse (la « dénombrabilité »), et on a fabriqué un objet idéal qui n'a que cette propriété. Ce processus mental est connu sous le nom d'abstraction : on fait abstraction de la qualité de l'objet pour s'intéresser uniquement à la quantité.

Euclide définit alors le nombre: « Le nombre est une collection d'unités ». Cette définition inclut implicitement le nombre zéro, collection ne comprenant aucune unité.

On peut aussi définir les entiers naturels par abstraction sans passer par la notion d'unité, comme l'a fait G. Frege (Fondements de l'arithmétique, 1884). Une collection A (ou concept selon sa terminologie) et une collection B sont dites équinumériques si on peut définir une correspondance biunivoque entre les objets de A et les objets de B, c'est-à-dire une correspondance qui associe à tout objet de A un unique objet de B, et à tout objet de B un unique objet de A. Un nombre est alors défini par abstraction des collections équinumériques entre elles, indépendamment de la nature de ces collections.

On associe alors à chaque nombre un symbole, ce qui permet de construire un ensemble d'objets différents les uns des autres.

Article détaillé : construction des entiers naturels.

[modifier] Propriétés

Quelle que soit la façon d'introduire les entiers naturels, ceux-ci ont les mêmes propriétés fondamentales à partir desquelles on développe l'arithmétique. Elles sont décrites dans l'article Axiomes de Peano.