Nombre natural
De Viquipèdia
| Sistema de nombres en matemàtiques. | |
| Nombres Elementals | |
|
Naturals
Infinit ∞ |
|
| Extensions dels nombres complexos |
|
|
Bicomplexos |
|
| Nombres Especials | |
| Altres nombres importants | |
|
Seqüència d'enters |
|
| Sistemes de numeració | |
|
{...-2,-1,0,+1,+2,...}
{...-1/2..0..1/2..1...}
{Q U I U Tr} 
{2,3,5,7,11...}
...}
Un nombre natural és qualsevol dels nombres 0, 1, 2, 3... , 19, 20, 21, 22, ..., 1059.... un milió, que es poden usar per a comptar els elements d'un conjunt. Per exemple: 24 pomes, 2 camions o 1123 peixos, són situacions on es compta amb nombres naturals. El conjunt de tots els nombres naturals es simbolitza per la lletra ℕ (
).
Alguns matemàtics (especialment els de teoria de nombres) prefereixen no reconèixer el zero com un nombre natural, mentre que uns altres, especialment els de teoria de conjunts, lògica i informàtica, tenen la postura oposada. En aquest article zero és considerat un nombre natural.
[edita] Conjunt dels nombres naturals
Encara que qualsevol nen petit entendria què coneixem per nombres naturals, la seva definició no és senzilla. Els postulats de Peano descriuen de manera unívoca el conjunt dels nombres naturals:
- Sigui el nombre natural 0
- Cada nombre natural a té un següent, denotat per a + 1
- No hi ha cap nombre natural tal que el seu següent sigui 0
- Si dos nombres naturals són diferents, els seus següents també ho són, això és: si a ≠ b, llavors a + 1 ≠ b + 1
- Una propietat que es compleixi per al 0 i per al successor de qualsevol nombre per al qual també es compleixi, es compleix per a tots els nombres naturals. Aquest últim postulat assegura la validesa de la tècnica de demostració coneguda com inducció matemàtica o recurrència.
En la teoria de conjunts és comú definir cada nombre natural com el conjunt de tots els nombres naturals anteriors a ell. Això permet establir una relació d'ordre entre els elements del conjunt (serà major el nombre que més nombres contingui).
És possible definir per inducció la suma mitjançant l'expressió:
a + (b + 1) = (a + b) + 1
la qual cosa converteix els nombres naturals (, +) en un monoide commutatiu amb element neutre 0, l'anomenat Monoide Lliure amb un generador. Aquest monoide satisfà la propietat anul·lativa i per tant pot incloure's en un grup matemàtic. El menor grup que conté els naturals és el dels nombres enters.
De manera anàloga, la multiplicació × pot ser definida mitjançant el següent: a × (b + 1) = a×b + a . Això converteix (, ×) (això és amb aquesta nova operació) en un monoide commutatiu; suma i multiplicació són compatibles gràcies a la propietat distributiva que s'expressa com segueix:
a × (b + c) = (ab) + (a×c).
A més a més, es pot definir un ordre total escrivint a ≤ b si i només si existeix altre nombre natural c que satisfà: a + c = b. Aquest ordre és compatible amb les operacions aritmètiques de la següent manera: si a, b i c són nombres naturals i a ≤ b, aleshores a + c ≤ b + c i a×c ≤ b×c. Una propietat important dels nombres naturals és que estan ben ordenats: això és, qualsevol conjunt no buit de nombres naturals té un element mínim (un més petit que els altres).
Mentre que en general no és possible dividir un nombre natural entre qualsevol altre i que aquesta operació resulti un nombre natural; tenim alguna cosa semblat a la divisió: per a qualssevol dos nombres naturals a i b, amb b≠0 , podem trobar altres naturals q i r tals que
- a = b×q + r i r < b.
El nombre q l'anomenem quocient i r el residu d'aquesta divisió d'a entre b. Els nombres q i r estan unívocament determinats per a i b.
Altres propietats més complexes dels nombres naturals, com la distribució dels nombres primers per exemple, són estudiades per la teoria de nombres.
Els nombres naturals són usats per a dos propòsits fonamentalment: per a descriure la posició d'un element en una successió ordenada, que designarem per un nombre ordinal; i per a especificar la grandària d'un conjunt finit, pel qual usarem un nombre cardinal. En conjunts finits, aquests dos conceptes són coincidents, mentre que a l'infinit els dos conceptes no són el mateix.
Segons Kronecker, un matemàtic alemany (1823-1891)
"Die ganze Zahl schuf der liebe Gott, alles Übrige ist Menschenwerk". Déu va crear els nombres enters, tota la resta és obra de l'home. (en tot cas, segur que Kronecker es referiria als naturals si a la seva època la nomenclatura fos l'actual) Així, ara hauria dit: Déu va crear els nombres naturals, tota la resta és obra de l'home.
(Citat a Cajori, History of Mathematics (London 1919)
