Natura nombro
El Vikipedio
Matematiko > Nombro > Natura Nombro
Natura nombro povas aŭ signifi pozitivan entjeron (1,2,3,4,...) aŭ ne-negativan entjeron (0,1,2,3,...). Naturaj nombroj havas du ĉefajn uzojn: Oni uzas ĝin por nombri objektojn (ekz-e "estas tri pomoj sur la tablo") aŭ por ordigi objektojn (ekz-e "ĝi estas la trie plej granda urbo en la lando"). En la dua signifo ili estas nomataj vicmontraj nombroj aŭ numeroj.
Lingvistika analizo de la unuaj nombronomoj montras, ke la unua maniero de kalkulado estis per fingroj. Plivastiganta bezono de la kalkulado devigis homojn inventi aliajn manierojn de kalkulado, ekzemple, entranĉoj sur ligno. Por fiksado de grandaj kvantoj (dekoj aŭ centoj) oni komencis marki ĝin per diferencaj entranĉoj. Post la evoluo de skribo aperis ebleco fari malsamajn markojn por diversaj kvantoj sur skribmaterialo (papiro, argila tableto). La konservitaj Babilonaj kojnoskribaj tabeloj, ankaŭ la konataj "Romanaj Numeraloj" pruvas la suprememciitan vojon de la nombrosignado.
Grava antaŭenpaŝo estis la invento de hindoj de moderna pozicia sistemo de kalkulo, kiu ebligas skribi ĉiun naturan nombron pere de dek diferencaj signoj, nomataj ciferoj. Tiamaniere, laŭgrade de la evoluo de skribarto, la nocio de natura nombro akceptas pli abstraktan formon kaj pli ofte menciindas aparte de konkretaĵo.
La sekva grava paŝo estis konsciigo pri la senfina karaktero de la vico aŭ aro de naturaj nombroj. La nomita prezento de naturaj nombroj jam ekzistis en la verkoj de Eŭklido kaj Arkimedo. La bezono fari operaciojn sur nombroj, pristudi iliajn proprecojn, solvi simplajn problemojn, kaŭzis aperon de Aritmetiko, scienco pri nombroj.
Por moderna matematiko, sistemo de naturaj nombroj estas aro, kiu estas signata kiel N={0, 1, 2, 3, ...}. Estas facile kompreni ilin, tamen estas iom malfacile difini ilin. Eblas priskribi ilin per la Postulatoj de Peano (ankaŭ nomataj la Aksiomoj de Peano):
- Ekzistas natura nombro 0.
- Ĉiu natura nombro a havas postanton, a + 1.
- Neniu natura nombro havas 0 kiel postanton.
- Apartaj naturaj nombroj havas apartajn postantojn: se a ≠ b, tiam a + 1 ≠ b + 1.
- Se 0 havas iun econ, kaj se la postanto de ĉiu natura nombro, kiu havas tiun econ, ankaŭ havas tiun econ, tiam ĉiuj naturaj nombroj havas tiun econ.
Ĉiu finia aro estas karakterizata per la konkreta natura nombro de siaj elementoj, ekzemple la malplena aro per la nombro 0.
La matematikistoj ankoraŭ ne interkonsentas, ĉu 0 estu konsiderata natura nombro aŭ ne. Historie, ili ne konsideris ĝin natura nombro, sed pro la moderna arteorio, nuntempe multaj matematikistoj konsideras ĝin tia. En la Vikipedio ni sekvas tiun konvencion. Tiu ankaŭ kongruas kun la supre nomita difino.
La aro de naturaj nombroj estas nefinia, kaj havas plej malgrandan elementon (0), sed ne havas plej grandan elementon.
La kvina el la supraj aksiomoj estas nomata aksiomo de indukto, kaj povas esti vortigita ankaŭ jene:
"Ĉiu parto de la aro N enhavanta la nombron 0 kaj kun ajna elemento a, ankaŭ elementon a+1, kongruas kun la aro N."
Oni povas formaligi la aksiomon de indukto en du draste malsamaj manieroj: per la unuaorda aŭ per la duaorda logiko. La ceterajn aksiomojn oni povas simple formaligi en la unuaorda logiko, kiu estas parto de la duaorda logiko.
En la unuaorda formaligo oni povas pritrakti nur formale difineblajn ecojn, kaj oni bezonas nefinie multajn aksiomojn, po unu aksiomon por ĉiu eco. Tia formaligo ne povas plene priskribi la strukturon de la naturaj nombroj, sed ekzistas tiel nomataj nestandardaj modeloj de la unuaorda aksiomoj de Peano. Ili enhavas nefiniajn elementojn. Aliflanke la unuaorda logiko havas kompletan pruvsistemon, kies ecojn oni bone konas. Krome granda plimulto de la konataj interesaj ecoj de la naturaj nombroj estas pruvebla en la unuaorda formaligo.
En la duaorda logiko oni povas rekte paroli pri ĉiuj subaroj, ĉu difineblaj ĉu ne, de la tuta aro de la naturaj nombroj, do la formaligo estas tre rekta kaj simpla. Krome oni povas pruvi, ke ĉiuj modeloj de la formaligita teorio estas izomorfaj unu kun la alia. Alivorte, la duaordaj aksiomoj de Peano plene priskribas la strukturon de la naturaj nombroj. Ilia ĉefa malavantaĝo estas la manko de kompleta pruvsistemo por la duaorda logiko.
