Nombre parfait
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[modifier] Définition
La définition moderne en est :
- Un nombre parfait est un entier naturel égal à la somme de ses diviseurs propres (c'est-à-dire, y compris 1 mais excepté lui-même).
Dans l'Antiquité et jusqu'au XIXe siècle, la définition était :
- Un nombre parfait est un entier naturel égal à la moitié de la somme de tous ses diviseurs (c'est à dire, y compris 1 et lui-même).
Les deux définitions sont strictement équivalentes.
[modifier] Propriétés
Le mathématicien Euclide, au IIIe siècle av. J.-C., a découvert et prouvé que si 
est premier, alors 
est parfait.
Par ailleurs, Leonhard Euler, au XVIIIe siècle, a prouvé que tout nombre parfait pair est de la forme proposée par Euclide. La recherche de nombres parfaits pairs est donc liée à celle des nombres premiers de Mersenne (nombres premiers de la forme 2p-1).
Il est établi que tout nombre parfait pair se termine par un 6 ou un 8, mais pas forcément en alternance.
En 2000, Douglas Iannucci a démontré dans Journal of Integer Sequences 3, 2000, Article 00.1.2 que l'ensemble des nombres pairs parfaits correspondait à l'ensemble des nombres de Kaprekar en base deux.
[modifier] Exemples
Les 4 premiers nombres parfaits sont connus depuis l'antiquité. Depuis, le total est passé à 44 nombres parfaits seulement (au 11/09/2006).
Les douze premiers nombres parfaits sont :
- 6 = 1 + 2 + 3
- 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
- 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
- 8 128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1 016 + 2 032 + 4 064
- 33 550 336
- 8 589 869 056
- 137 438 691 328
- 2 305 843 008 139 952 128
- 2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176
- 191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216
- 13 164 036 458 569 648 337 239 753 460 458 722 910 223 472 318 386 943 117 783 728 128
- 1 447 401 11 546 645 244 279 463 731 260 85 988 481 573 677 491 474 835 889 066 354 349 131 199 152 128
La liste complète se trouve sur le site de J. Pedersen.
[modifier] Curiosité
En divisant chacune des égalités ci-dessus par le nombre parfait correspondant, on découvre une propriété de certaines fractions égyptiennes :
- 1 = 1/6 + 1/3 + 1/2
- 1 = 1/28 + 1/14 + 1/7 + 1/4 + 1/2
- et ainsi de suite
[modifier] Conjectures
L'affirmation "il n'existe aucun nombre parfait impair" est une conjecture. En effet, on ignore s'il existe des nombres parfaits impairs; un tel nombre doit avoir au moins 11 facteurs premiers distincts dont au moins un est supérieur à 300 000; un nombre parfait impair doit être supérieur à 10300. L'espoir de trouver un jour un nombre parfait impair n'est pas totalement exclu, dans le sens où il existe des nombres impairs presque parfaits (spoof perfect numbers). Considérons par exemple le nombre suivant :
- 198585576189 = 22021 × 32 × 72 × 112 × 132
Un tel nombre serait parfait, si le premier facteur 22021 était premier, (ce qui n'est pas le cas).
On ne sait pas s'il existe une infinité de nombres premiers de Mersenne. On ne sait pas non plus s'il existe une infinité de nombres parfaits.
