자연수

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수학의 수 체계
기초
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ $\mathbb{N}$ 자연수 {1,2,3...} $\mathbb{P}$ 소수 {2,3,5,7,...} $\mathbb{Z}$ 정수 {...,-1,0,1,...} $\mathbb{Q}$ 유리수 {2/3,-4/7,...} 무리수 $\mathbb{R}$ 실수( $\mathbb{Z} , \mathbb{Q} , \sqrt2, \pi$ ) 허수 $\mathbb{C}$ 복소수 $\mathbb{R}(\mathrm{i})$ 작도 가능한 수 대수적 수 초월수 초한수 계산 가능한 수
복소수의 확장
이원수 다원수 사원수 팔원수 16원수 Superreal 초실수 Surreal
기타
명목수 서수 size, position {n} 기수 $\{ \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \cdots \}$ p진수 정수열 수학 상수 $i$ 허수단위 $= \sqrt{-1}$ π 파이 ≈ 3.14159 26535 ... e (상수) ≈ 2.71828 (∉ $\mathbb{Q}$ ) ∞ 무한대
주요 상수
π - e - √2 - √3 - γ - φ - β^* - δ - α - C₂ - M₁ - B₂ - B₄ - Λ - K - K - K - B´_L - μ - E_B - Ω - β - λ - D(1) - λμ - Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L - Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. - Niv. - Sie. - Kin. - F - L

수학에서 자연수는 양의 정수(1, 2, 3, ...), 또는 음이 아닌 정수(0, 1, 2, 3, ...)를 지칭한다. 전자는 수론에서, 후자는 집합론에서 보통 사용된다.

음이 아닌 정수를 영어에서는 whole number, 북한에서는 옹근수라 부르기도 한다.

[편집] 표기법

수학자들은 N 또는 $\mathbb{N}$ 을 모든 자연수의 집합을 나타내는 데 사용한다. 이 집합은 정의에 따라서 무한 집합이지만 가산 집합이다.

집합에 0이 포함되었는지 아닌지를 분명히 하기 위해서 첨자 "0"이나 "*"를 붙이기도 한다. 즉,

N₀ = { 0, 1, 2, 3, ... }

N^* = { 1, 2, 3, ... }

(종종 첨자 "+"가 "양수"를 강조하기 위해 사용되기도 한다. 하지만 자연수가 아닌 다른 경우, 이 첨자는 "음수가 아닌" 것을 강조하기 위해서 많이 사용된다. 예를 들어 R₊ = [0,∞), Z₊ = { 0, 1, 2,... }이다. 첨자 "*"는 0이 아니거나, 역원이 존재하는 원소들의 집합을 나타내는 데 일반적으로 사용된다.)

어떤 경우에는 W 또는 $\mathbb{W}$ 가 "범자연수"(whole number)의 집합을 나타내는 데 사용되기도 하는데, 여기서 범자연수는 종종 여기서 설명하는 자연수를 가리키기도 하고, 정수를 가리키기도 한다.

집합론자들은 종종 모든 자연수의 집합을 ω로 표기하기도 하며, 이 경우 0은 명시적으로 자연수에 포함된다.

[편집] 자연수의 정의

역사적으로 자연수의 엄밀한 수학적 정의는 여러 어려움을 겪으면서 만들어졌다. 페아노의 공리는 어떤 엄밀한 정의라도 반드시 만족해야 할 조건들을 제시하고, 집합론의 경우 특정한 구성(construction)을 사용해서 페아노의 공리를 만족하는 모델이 존재한다는 것을 보일 수 있다.

[편집] 페아노의 공리

0은 자연수이다.
모든 자연수 a에 대해서 그 다음 수 S(a)가 존재한다.
다음 수가 0인 자연수는 존재하지 않는다.
서로 다른 자연수 a와b에 대해서, 그 다음 수 S(a)와 S(b) 또한 서로 다르다.
0이 어떤 성질을 만족하고, 임의의 자연수 k가 그 성질을 만족할 때 그 다음 수 S(k) 또한 그 성질을 만족하면, 이 성질은 어떤 자연수에 대해서도 만족된다. (이는 수학적 귀납법이 올바르다는 것을 보장해 준다.)

여기서 정의에 사용된 "0"는 일반적으로 사용하는 숫자 0에 대응할 필요가 없으며, 공리를 만족하는 어떤 것이라도 될 수 있다. 이 공리를 만족하는 체계는 0 또는 1로 시작하는 자연수 이외에도 많이 존재한다.

[편집] 집합론을 사용한 "표준" 구성

집합론을 사용한 구성으로 다음과 같이 자연수를 귀납적으로 정의할 수 있다.

0 = { }으로 한다.
모든 a에 대해, S(a) = a ∪ {a}로 정의한다.
그럼 모든 자연수의 집합은 0을 포함하고, 다음 수 함수에 대해 닫힌 모든 집합들의 교집합으로 정의된다.

이 정의에서 모든 자연수는 그 수보다 작은 자연수들의 집합과 같다. 따라서,

0 = { }
1 = {0} = {{ }}
2 = {0, 1} = {0, {0}} = {{ }, {{ }}}
3 = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}

무한공리를 가정하면 이 정의가 페아노의 공리를 만족함을 보일 수 있다.

[편집] 다른 집합론적인 구성

앞에서 보인 "표준적인" 구성이 유용하기는 하지만, 이외에도 다른 구성들이 존재한다. 예를 들어서,

0 = { }로 한다.
모든 a에 대해, S(a) = {a}로 정의한다.

이 경우 0 = { }, 1 = {0} = {{ }}, 2 = {1} = {{{ }}}, …등으로 정의된다. 또는 처음에 0 = {{ }}로 정의할 수도 있다.

거의 최초로 제시된 자연수의 집합론적인 정의는 고틀로프 프레게와 버트런드 러셀이 정의한 것으로, 여기서는 자연수 n은 n개의 원소를 가진 모든 집합들의 집합으로 정의된다. 이 정의는 순환론적으로 보일 수 있지만 주의를 기울이면 엄밀하게 만들 수 있다. 0을 (원소가 0개인 모든 집합의 집합인) ${{}}$ 로 정의하고, 임의의 집합 A에 대해서 $σ(A)$ 를 $\{x \cup \{y\} \mid x \in A \wedge y \not\in x\}$ 로 정의한다. 그러면 0은 원소가 0개인 모든 집합의 집합이 되고, $1 = σ(0)$ 는 원소가 1개인 모든 집합의 집합이 되며, 일반적으로 $σ(k)$ 는 원소가 k+1개인 모든 집합의 집합이 된다. 따라서 자연수의 집합은 0을 포함하고 $σ$ 함수에 대해 닫힌 모든 집합들의 교집합으로 정의할 수 있다. 이 정의는 공리적 집합론의 일반적인 체계에서는 사용할 수 없으며, 사실 분리공리를 만족하는 어떤 집합론에서도 사용할 수 없다. 하지만 유형론을 기반으로 하는 몇몇 체계에서는 사용할 수 있다.