Натуральне число

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Натуральні числа — числа, що виникають природнім чином при лічбі. Це числа: 1, 2, 3, 4, ...

В математиці множину натуральних чисел прийнято позначати знаком $\mathbb{N}$ : $\mathbb{N} = \{\, 1, 2, 3, \ldots \,\}$ .

Існує два підходи для означення натуральних чисел — числа, що використовуються при:

лічбі предметів (перший, другий, третій…) — підхід загальноприйнятий в більшості країн світу.
позначенні кількості предметів (відсутність предметів, один предмет, два предмета… ) загальноприйнятий в роботах Бурбаки, де натуральні числа означаються як потужність скінченних множин.

Від'ємні та нецілі числа — натуральними числами не є.

Існує нескінченна кількість натуральних чисел — для будь якого натурального числа знайдеться інше натуральне число, більше за нього.

Зміст

1 Історія натуральних чисел
2 Формальне означення
- 2.1 Аксіоми Пеано
- 2.2 Теоретико-множинне означення
  - 2.2.1 Стандартне означення
  - 2.2.2 Інші означення
3 Операції над натуральними числами
4 Основні властивості
5 Див. також
6 Література
7 Посилання

[ред.] Історія натуральних чисел

Поняття натурального числа, викликане потребою лічби предметів, виникло ще в доісторичні часи. Процес формування поняття натурального числа протікав наступним чином. На найнижчому етапі первісного суспільства поняття абстрактного числа було відсутнім. В свідомості первісної людини ще не сформувалося те спільне, що об’єднує наприклад, "три людини" та "три озера". Аналіз мов первісних народностей показує, що для лічби предметів різного типу використовувались різні словесні обороти. Слово "три" в контекстах "три людини", "три човни" передавалось по-різному. Звісно, такі іменовані числові ряди були дуже короткими і завершувались неіндивідуалізованим поняттями "багато" (про велику кількість тих чи інших предметів), котрі також ,були іменованим, тобто висловлювались різними словами для різних типів об’єктів, такими, як "натовп", "стадо", "купа" і так далі. Спочатку числові терміни мали більше якісний характер - відрізняли один, два та більшу кількість. Більші числа одержували додаванням. Наприклад, у австралійського племені ріки Муррей, 1 - енза, 2 - петчевал, 3 - петчевал-енза, 4 - петчевал-петчевал.

Джерелом виникнення поняття абстрактного числа є примітивна лічба предметів, що базувалась на співставленні предметам даної сукупності предметам деякої сукупності, що мала роль еталону. У більшості народів першим таким еталоном є пальці ("лічба на пальцях"), що безпосередньо підтверджується мовознавчим аналізом назв перших чисел. На цьому етапі число стає абстрактним, не залежним від якості рахованих об’єктів, але разом з тим зв’язаним з природою сукупності-еталону. Розширюючись, потреби лічби, спонукали людей використовувати інші еталони лічби, наприклад, зарубки на паличці. Для фіксації порівняно великих чисел стала використовувалась нова ідея – позначення деякого певного числа (у більшості народів - десяти) новим знакам, наприклад, зарубкою на іншій паличці.

З розвитком писемності можливості відтворення чисел значно розширились. Спочатку числа стали позначувати рисками на матеріалі, що слугував для запису (папірус, глиняні таблички і так далі). Потім були введені інші знаки для великих чисел. Вавилонські клинописні позначення чисел, також, і "римські цифри", що збереглися до наших днів, ясно свідчать саме про цей шлях формування позначень для чисел.

Найбільшим прогресом було відкриття "цифр". Тепер стало можливим записати будь-яке число обмеженим набором символів. Наприклад, вавілоняни розвивали потужну періодичну систему, що базувалась фактично на цифрах 1 та 10. Значним кроком вперед була індійська позиційна система числення, що дозволяла записати будь-яке натуральне число за допомогою десяти знаків - цифр. Тобто, паралельно з розвитком писемності поняття натурального числа приймає все більш абстрактну форму, відокремлену від будь-якої конкретності поняття числа, відтворюваного як в формі слів в усній мові, так і в формі позначення спеціальними знаками в письменній.

Важливим кроком в розвитком поняття натурального числа є усвідомлення нескінченності натурального ряду чисел – потенційної можливості його безграничного продовження. Чітке уявлення про нескінченність натурального ряду відображене в пам’ятниках античної математики (III століття до Р. Х.), в працях Евкліда і Архімеда. В "Началах" Евкліда встановлюється навіть нескінченність кількості простих чисел, а в книзі Архімеда "Псаміт" - принципи для побудови назв та позначень як завгодно великих чисел, зокрема більших за "число піщинок в світі".

Нуль, спочатку означав відсутність числа, став розглядатися як число лише після введення від'ємних чисел (в наш час, нуль іноді включають до натуральних чисел).

Питання про обґрунтованість поняття натурального числа довгий час в науці не ставилося. Поняття натурального числа настільки звичне і просте, що не виникало потреби в його означенні в термінах будь-яких більш простих понять. Лише в середині XIX століття під впливом розвитку аксіоматичного методу в математиці, з одного боку, і критичного перегляду основ математичного аналізу – з іншого, назріла необхідність обґрунтування поняття кількісного натурального числа.

Чітке означення поняття натурального числа на основі поняття множин було дано в 70-х роках XIX століття в роботах Георга Кантора. Спочатку він означує рівнопотужність множин. Потім число елементів однієї множини, означається як те спільне, що має дана множина і будь-яка інша, рівнопотужна їй, незалежно від якісних особливостей елементів цих множин. Таке означення відображає суть натурального числа як результату лічби предметів.

Інше обґрунтування поняття натурального числа базується на аналізі відношення порядку слідування, яке може бути задано за допомогою аксіом. Побудована на цьому принципі система аксіом була сформульована Джузеппе Пеано.

[ред.] Формальне означення

[ред.] Аксіоми Пеано

Формальне означення натуральних чисел сформулював італійський математик Джузеппе Пеано в 1889 році.
Аксіоми Пеано базувалися на розробках Грассмана, хоча саме Пеано надав їм сучасного вигляду.
Аксіоми Пеано дозволили формалізувати арифметику. Після введення аксіом стали можливими доведення рівності виду $2 * 2 = 4$ , основних властивостей натуральних і цілих чисел, а також побудова раціональних та дійсних чисел.

Аксіоми Пеано:
Введемо функцію S(x), котра співставляє числу x наступне за ним число.

$1\in\mathbb{N}$ (1 є натуральним числом)
якщо $x\in\mathbb{N}$ , то $S(x)\in\mathbb{N}$ (Число, наступне за натуральним, також є натуральним)
$\not\exists x\in\mathbb{N}\ (S(x) = 1)$ (1 не слідує ні за яким натуральним числом)
Якщо $\,\ S(b) = a$ и $\,\ S(c) = a$ , тоді $\,\ b = c$ (якщо натуральне число a безпосередньо слідує як за числом b, так і за числом c, то b = c)
Аксіома індукції: Якщо деяке висловлювання P істенне для n = 1 (база індукції) і для будь-якого n при припущенні, що вірне P(n), вірно і P(n+1) (індукційне припущення), то P(n) вірно для будь-яких натуральних n

В оригіналі Пеано першим натуральним числом брав 0. Для цієї множини використовують позначення натуральні числа з нулем N₀ = { 0, 1, 2, ... } або невід'ємні цілі числа Z⁺ = { 0, 1, 2,... }. В деяких джерелах і зараз постулюють так множину натуральних чисел, але загальноприйнято вважати, що найменше натуральне число - це 1.

[ред.] Теоретико-множинне означення

Згідно теорії множин, єдиним об'єктом побудови будь-яких математичних систем є множина. В теоретико-множинному означенні натуральні числа включають і число 0.

[ред.] Стандартне означення

В теорії множин використовується конструкція натуральних чисел запропонована Джоном фон Нойманом. Згідно з нею натуральні числа вводяться, виходячи з поняття множини, за двома правилами:

0 = { } - порожня множина
S(n) = n ∪ {n}

Числа, задані таким чином, називаються ординальними.

Ось ординальні числа та відповідні їм натуральні числа:

0 = {}
1 = {{}}
2 = {0, 1} = {{}, {{}}}
3 = {0, 1, 2} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}
.
.
n+1 = {0, 1,..., n} = n U {n}
...

Згідно цьому означенню, є рівно n елементів (в наївному смислі) в множині n і n ≤ m (в наївному смислі), якщо і тільки якщо n підмножина m.

[ред.] Інші означення

Хоча стандартна конструкція корисна, але вона не є єдиною можливою конструкцією. Наприклад:

Означимо правила так:

0 = { }
S(n) = {n},

Тоді маємо

0 = { }
1 = {0} = {{ }}
2 = {1} = {{{ }}}
...

Або можно означити правила так:

0 = {{ }}
S(n) = n U {n}

Тоді маємо

0 = {{ }}
1 = {{ }, 0} = {{ }, {{ }}}
2 = {{ }, 0, 1}
...

Можливо, найстаріше означення натуральних чисел - означення, звичайно приписуване Фреге та Расселу, в якому кожне конкретне натуральне число n означене як множина всіх множин з n елементами. Це означення може здатися не чітким, але, насправді, може бути чітко означене:

0 = {{}} - множина всіх множин без елементів (нульовою кількістю елементів)
$\sigma(A) = \{x \cup \{y\} \mid x \in A \wedge y \not\in x\}$ , для будь-якої множини A

Тоді 0 буде множина всіх множин без елементів, $1 = σ(0)$ буде множина всіх множин з 1 елементом, $2 = σ(1)$ буде множина всіх множин з 2 елементами, і так далі.

[ред.] Операції над натуральними числами

До замкнутих операцій (операцій, що не виводять результат із множини натуральних чисел) над натуральними числами відносяться наступні арифметичні операції:

Додавання. Доданок + Доданок = Сума
Множення. Множник * Множник = Добуток
Віднімання. Зменшуване — Від'ємник = Різниця. При цьому Зменшуване повинне бути більше Від'ємника (або рівне йому, якщо вважати 0 натуральним числом)
Ділення націло з остачею. Ділене / Дільник = (Частка, Остача). Якщо ділене = a, дільник = b, частка = p, остача = q, то a = p*b + q.

Необхідно відмітити, що саме операції додавання та множення є основними. Зокрема, кільце цілих чисел означається саме через бінарні операції додавання та множення.

[ред.] Основні властивості

Комутативність додавання. $\,\! a + b = b + a$
Комутативність множення. $\,\! ab = ba$
Асоціативність додавання. $\,\! (a + b) + c = a + (b + c)$
Асоціативність множення. $\,\! (ab)c = a(bc)$
Дистрибутивність множення відносно додавання. $\,\! \begin{cases} a(b+c) = ab + ac \\ (b + c)a = ba + ca \end{cases}$