מספר טבעי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

מספר טבעי הוא מספר השייך לקבוצת המספרים 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... . יש הכוללים בתחילת המספרים הטבעיים את המספר 0. נהוג לסמן קבוצה זו באות .

אלה הם המספרים הקלים ביותר להבנה, והראשונים שנלמדים על-ידי ילדים. למספרים טבעיים שתי מטרות:

• ספירה, למשל: יש שלושה תפוחים על השולחן.
• סדר, למשל: זו העיר השלישית בגודלה במדינה.

תכונותיהם של המספרים הטבעיים נחקרות במסגרת תורת המספרים.

קבוצת המספרים הטבעיים היא בת מניה, כלומר עוצמתה היא (אלף אפס).

[עריכה] בניית המספרים הטבעיים

[עריכה] הבנייה של פרגה (מיוחסת גם לראסל)

הגדרת המספרים הטבעיים על-פי האקסיומות של תורת הקבוצות: נגדיר כמספר 0 את הקבוצה הריקה {}. כעת נגדיר לכל קבוצה A את העוקב של A, A+ על ידי A+= איחוד של A עם היחידון {A}. לדוגמה:

{{}} היא 1.

{{},{{}}} היא 2.

{{},{{}},{{},{{}}}} היא 3.

וכן הלאה. עתה, נגדיר קבוצה אינדוקטיבית : קבוצה אינדוקטיבית היא קבוצה המכילה את 0 (הקבוצה הריקה) וכן, עבור כל איבר בקבוצה, היא מכילה את העוקב לאיבר. אזי, קבוצת המספרים הטבעיים תהיה חיתוך כל הקבוצות האינדוקטיביות - או, הקבוצה האינדוקטיבית הקטנה ביותר.

על הטבעיים כעת ניתן להגדיר סדר חלקי פשוט באמצעות הכלה (כהגדרתה בתורת הקבוצות), כי קל לראות שאם m ששייך לטבעיים מכיל את n אז m>n.

[עריכה] הבנייה של פאנו

בסיס אקסיומטי למספרים הטבעיים ניתן באמצעות האקסיומות של פאנו, שנקבעו בשנת 1899 על-ידי המתמטיקאי האיטלקי ג'וזפה פאנו, לאחר אלפי שנים של שימוש במספרים טבעיים ללא בסיס אקסיומטי. באקסיומות אלה נעשה שימוש בשלושה מושגים יסודיים שאינם מוגדרים: "מספר טבעי", "0", ו"עוקב". האקסיומות הן:

1. קיים מספר טבעי 0.
2. לכל מספר טבעי a קיים עוקב.
3. אין מספר טבעי שהעוקב שלו הוא 0.
4. למספרים טבעיים שונים יש עוקבים שונים.
5. כל תכונה של 0 שמתקיימת גם לעוקב של כל מספר טבעי בעל תכונה זו, מתקיימת לכל המספרים הטבעיים. אקסיומה זו היא אקסיומת האינדוקציה.

נסמן את העוקב של a בסימון Sa, ונוכל להגדיר את פעולות החיבור והכפל:

• חיבור, שסימנו +, הוא פעולה שמקיימת שתי תכונות:
  •  : החיבור של a ו-0 שווה ל-a.
  •  : החיבור של a והעוקב של b שווה לעוקב של החיבור של a ו-b.
• כפל, שסימנו , הוא פעולה שמקיימת שתי תכונות:
  • 
  •